Considere a base ortonormal de R^5
alpha
Faça o que se pede:
(a) Verifique que os vetores da base v=(100, pi, raiz2,-1,0) são mutuamente ortogonais e unitários.
(b) Encontre as coordenadas do vetor alpha na base v. Dica: use o fato que se v cdot v1, v cdot v2, ldots, v cdot vn é uma base ortonormal, então as coordenadas de um vetor v são dadas por , ou seja, pelos Coeficientes de Fourier de .

Passo 1

O enunciado pede para a gente trabalhar com uma base ortonormal α em ℝ⁵, verificar que os vetores são mutuamente ortogonais e unitários e depois achar as coordenadas de v=(100,π,√2,−1,0) nessa base usando produtos internos (coeficientes de Fourier). Vamos usar definição de produto interno em ℝⁿ, de norma e o fato de que, em base ortonormal, as coordenadas de v são 〈v,uᵢ〉.

Passo 2

Para mostrar ortogonalidade, basta calcular os produtos internos 〈uᵢ,uⱼ〉 para i≠j. Como os três primeiros vetores têm suporte só nas 3 primeiras coordenadas, fazemos: 〈u₁,u₂〉=(1/√2)(−1/√6)+(1/√2)(1/√6)+0·(2/√6)=−1/√12+1/√12=0. De modo análogo 〈u₁,u₃〉=1/√2·1/√3−1/√2·1/√3+0=0 e 〈u₂,u₃〉=(−1/√6)(1/√3)+(1/√6)(−1/√3)+(2/√6)(1/√3)=−1/√18−1/√18+2/√18=0. Os dois últimos vetores só têm componentes nas posições 4 e 5, então 〈u₁,u₄〉=0,…,〈u₃,u₅〉=0 e 〈u₄,u₅〉=0.

Passo 3

Para mostrar que cada uᵢ tem norma 1, calculamos ∥u₁∥²=(1/√2)²+(1/√2)²=1/2+1/2=1; ∥u₂∥²=(1/√6)²+(1/√6)²+(2/√6)²=1/6+1/6+4/6=1; ∥u₃∥²=1/3+1/3+1/3=1; e claramente ∥u₄∥²=1, ∥u₅∥²=1. Assim α é ortonormal.

Passo 4

Para achar as coordenadas de v em α usamos cᵢ=〈v,uᵢ〉. Fazendo cada produto interno:
c₁=〈v,u₁〉=100·(1/√2)+π·(1/√2)= 100+π/√2
c₂=〈v,u₂〉=100·(−1/√6)+π·(1/√6)+√2·(2/√6)= −100+π+2√2/√6
c₃=〈v,u₃〉=100·(1/√3)+π·(−1/√3)+√2·(1/√3)= 100−π+√2/√3
c₄=〈v,u₄〉=−1
c₅=〈v,u₅〉=0

Passo 5

Pronto! Achamos todos os coeficientes de Fourier de v na base ortonormal α.

Resposta

a) Os vetores de α são mutuamente ortogonais e têm norma 1, logo α é ortonormal.
b) As coordenadas de v em α são:
l((100+π)/√2,;(-100+π+2√2)/√6,;(100−π+√2)/√3,;-1,;0).

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