Determine se S é um subespaço vetorial de V nos seguintes casos:
V=R^3 e .

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto S={(x,y,z)\in\mathbb R^3;;2x+y+z=0} é subespaço vetorial de V=\mathbb R^3. O conteúdo utilizado será a definição de subespaço: deve conter o vetor zero, ser fechado sob soma de vetores e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Checar se o vetor zero está em S. Para o vetor (0,0,0) temos 2\cdot0+0+0=0, portanto (0,0,0) pertence a S.

Passo 3

Verificar fechamento sob soma. Sejam u=(x₁,y₁,z₁) e v=(x₂,y₂,z₂) em S, ou seja 2x₁+y₁+z₁=0 e 2x₂+y₂+z₂=0. Então
2(x₁+x₂)+(y₁+y₂)+(z₁+z₂)=(2x₁+y₁+z₁)+(2x₂+y₂+z₂)=0+0=0,
logo u+v também pertence a S.

Passo 4

Verificar fechamento sob escalar. Seja c∈\mathbb R e u=(x,y,z) em S. Temos
2(cx)+c y+c z=c(2x+y+z)=ccdot0=0,
portanto cu pertence a S.

Passo 5

Como S contém o zero e é fechado nas operações de soma e multiplicação por escalar, concluímos que S é subespaço vetorial de V.

Resposta

Sim, S é um subespaço vetorial de V.

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