Determine se S é um subespaço vetorial de V nos seguintes casos:
e
.
é o espaço das funções
R.)
Passo 1
A questão quer saber se o conjunto S das funções pares f
:ℝ→ℝ (ou seja, f(x)=f(−x) para todo x) é subespaço vetorial de V=F(ℝ,ℝ). Para isso precisamos usar o critério de subespaço: S≠∅, fechado sob soma e sob multiplicação por escalar.
:ℝ→ℝ (ou seja, f(x)=f(−x) para todo x) é subespaço vetorial de V=F(ℝ,ℝ). Para isso precisamos usar o critério de subespaço: S≠∅, fechado sob soma e sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Um subespaço vetorial deve conter a função zero. Se definirmos a função zero por g(x)=0 para todo x, então g(x)=0=g(−x), logo g∈S. Assim S≠∅ e já temos o zero de V em S.
Passo 3
Agora verificamos a soma. Tomemos f e h em S, isto é, f(x)=f(−x) e h(x)=h(−x). Então para todo x
Passo 4
Por fim, checamos multiplicação por escalar. Se f∈S e α∈ℝ, então para todo x
Resposta
Sim. S é um subespaço vetorial de V.