Determine se S é um subespaço vetorial de V nos seguintes casos:
V=F(R, R) e S=f in F(R, R) ; f(x)=f(-x).
(F(R, R) é o espaço das funções f: R R.)

Passo 1

A questão quer saber se o conjunto S das funções pares f
:ℝ→ℝ (ou seja, f(x)=f(−x) para todo x) é subespaço vetorial de V=F(ℝ,ℝ). Para isso precisamos usar o critério de subespaço: S≠∅, fechado sob soma e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Um subespaço vetorial deve conter a função zero. Se definirmos a função zero por g(x)=0 para todo x, então g(x)=0=g(−x), logo g∈S. Assim S≠∅ e já temos o zero de V em S.

Passo 3

Agora verificamos a soma. Tomemos f e h em S, isto é, f(x)=f(−x) e h(x)=h(−x). Então para todo x
(f+h)(x)=f(x)+h(x)=f(-x)+h(-x)=(f+h)(-x), o que mostra que f+h também é par e pertence a S.

Passo 4

Por fim, checamos multiplicação por escalar. Se f∈S e α∈ℝ, então para todo x
(αf)(x)=α·f(x)=α·f(-x)=(αf)(-x), logo αf é par e está em S.

Resposta

Sim. S é um subespaço vetorial de V.

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