Considere uma base ortonormal
de um espaço euclidiano e seja
e
. Calcule
(um produto interno qualquer) e conclua que em todo espaço euclidiano pode-se encontrar uma base em relação à qual o produto interno fica na forma usual.
Passo 1
O enunciado nos dá um espaço euclidiano de dimensão
com uma base ortonormal
. Dois vetores são dados por
O objetivo é calcular
usando a bilinearidade e a ortonormalidade da base, e concluir que em coordenadas nessa base o produto interno é o produto escalar usual.
Passo 2
Pela bilinearidade e simetria do produto interno, temos
Passo 3
Como a base é ortonormal,
para
e
. Logo o duplo somatório colapsa para
Passo 4
Isso mostra que, se representamos qualquer vetor pelas coordenadas
e
nessa base ortonormal, o produto interno coincide com o produto escalar usual de
. Em outras palavras, em toda base ortonormal o produto interno fica na forma
ou seja, tem matriz identidade.
Resposta
Concluímos que em qualquer espaço euclidiano existe uma base ortonormal na qual o produto interno é dado pelo produto escalar usual.