Considere uma base ortonormal B=u1, ldots, un de um espaço euclidiano e seja u=a1 u1+ldots+an un e v=b1 u1+ldots+bn un. Calcule lang<= u, vrang<= (um produto interno qualquer) e conclua que em todo espaço euclidiano pode-se encontrar uma base em relação à qual o produto interno fica na forma usual.

Passo 1

O enunciado nos dá um espaço euclidiano de dimensão n com uma base ortonormal
u1,dots,un. Dois vetores são dados por
u = a1u1 + cdots + anun, v = b1u1 + cdots + bnun
O objetivo é calcular lang<= u,vrang<= usando a bilinearidade e a ortonormalidade da base, e concluir que em coordenadas nessa base o produto interno é o produto escalar usual.

Passo 2

Pela bilinearidade e simetria do produto interno, temos
lang<= u,vrang<= = llang<= sumi=1^naiui,,sumj=1^nbjujrrang<= = sumi=1^nsumj=1^naibj,lang<= ui,ujrang<=

Passo 3

Como a base é ortonormal, lang<= ui,ujrang<= = 0 para ineq j e lang<= ui,uirang<==1. Logo o duplo somatório colapsa para
lang<= u,vrang<= = sumi=1^naibi

Passo 4

Isso mostra que, se representamos qualquer vetor pelas coordenadas (a1,dots,an) e (b1,dots,bn) nessa base ortonormal, o produto interno coincide com o produto escalar usual de R^n. Em outras palavras, em toda base ortonormal o produto interno fica na forma
lang<= u,vrang<= = a1b1 + cdots + anbn,
ou seja, tem matriz identidade.

Resposta

lang<= u,vrang<= = sumi=1^naibi
Concluímos que em qualquer espaço euclidiano existe uma base ortonormal na qual o produto interno é dado pelo produto escalar usual.

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