Verifique se as aplicações abaixo são isometrias:
definida por
Passo 1
O enunciado fornece uma transformação linear
dada por
Para mostrar que
é isometria, basta verificar que sua matriz em relação à base canônica é ortogonal, ou seja,
. Equivalente a isso é provar que as colunas de
formam um sistema ortonormal em
.
Passo 2
Determinamos as colunas de
aplicando
aos vetores canônicos
,
e
:
Logo
Passo 3
Verificamos as normas de cada coluna:
Passo 4
Calculamos os produtos internos entre colunas distintas:
Passo 5
Como as colunas
têm norma unitária e são mutuamente ortogonais, a matriz
satisfaz
. Isso implica que
para todos
, ou seja,
preserva normas e ângulos.