Verifique se as aplicações abaixo são isometrias:
T in L(R^3) definida por T(x, y, z)=(1raiz3 x+1raiz6 y-1raiz2 z, 1raiz3 x-2raiz6 y, 1raiz3 x+1raiz6 y+1raiz2 z)

Passo 1

O enunciado fornece uma transformação linear Tcolon R^3toR^3 dada por
T(x,y,z)=l(tfrac1raiz3x+tfrac1raiz6y-tfrac1raiz2z,;tfrac1raiz3x-tfrac2raiz6y,;tfrac1raiz3x+tfrac1raiz6y+tfrac1raiz2zr)
Para mostrar que T é isometria, basta verificar que sua matriz em relação à base canônica é ortogonal, ou seja, M^TM=I. Equivalente a isso é provar que as colunas de M formam um sistema ortonormal em R^3.

Passo 2

Determinamos as colunas de M aplicando T aos vetores canônicos e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e e3=(0,0,1):
T( e1)=l(tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r)=: u1, T( e2)=l(tfrac1raiz6,-tfrac2raiz6,tfrac1raiz6r)=: u2, T( e3)=l(-tfrac1raiz2,0,tfrac1raiz2r)=: u3
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M=l[ u1; u2; u3r]

Passo 3

Verificamos as normas de cada coluna:
| u1|^2=l(tfrac1raiz3r)^2!+l(tfrac1raiz3r)^2!+l(tfrac1raiz3r)^2 =3cdottfrac13=1,
| u2|^2=l(tfrac1raiz6r)^2!+l(-tfrac2raiz6r)^2!+l(tfrac1raiz6r)^2 =tfrac16+tfrac46+tfrac16=1,
| u3|^2=l(-tfrac1raiz2r)^2+0^2+l(tfrac1raiz2r)^2 =tfrac12+tfrac12=1

Passo 4

Calculamos os produtos internos entre colunas distintas:
u1!cdot! u2 =tfrac1raiz3tfrac1raiz6+tfrac1raiz3l(-tfrac2raiz6r)+tfrac1raiz3tfrac1raiz6 =tfrac1-2+1raiz3,raiz6=0,
u1!cdot! u3 =tfrac1raiz3l(-tfrac1raiz2r)+tfrac1raiz3cdot0+tfrac1raiz3tfrac1raiz2 =tfrac-1+1raiz3,raiz2=0,
u2!cdot! u3 =tfrac1raiz6l(-tfrac1raiz2r)+l(-tfrac2raiz6r)!0+tfrac1raiz6tfrac1raiz2 =tfrac-1+1raiz6,raiz2=0

Passo 5

Como as colunas u1, u2, u3 têm norma unitária e são mutuamente ortogonais, a matriz M satisfaz M^TM=I. Isso implica que lang<= T(v),T(w)rang<==lang<= v,wrang<= para todos v,w, ou seja, T preserva normas e ângulos.

Resposta

T é uma isometria.

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