Sejam
e
subespaço vetoriais de um espaço euclidiano
de dimensão finita. Mostre que:
Passo 1
O enunciado fala de um espaço euclidiano de dimensão finita
e de um subespaço
. Queremos mostrar que o complemento ortogonal do complemento ortogonal de
volta a ser exatamente
, ou seja,
Passo 2
Primeiro mostramos a inclusão
.
Seja . Por definição de complemento ortogonal, qualquer vetor
satisfaz
. Mas isso significa que
é ortogonal a todo vetor de
, isto é,
Seja
logo
. Portanto
Passo 3
Agora usamos contagem de dimensões para concluir igualdade de subespaços. Num espaço euclidiano finito vale sempre
Do mesmo modo, aplicando isso a
em lugar de
, obtemos
Subtraindo
em ambos, segue
Temos então um subespaço
que contém
e tem a mesma dimensão de
. Isto força