Sejam U e V subespaço vetoriais de um espaço euclidiano W de dimensão finita. Mostre que:
(U^perp)^perp

Passo 1

O enunciado fala de um espaço euclidiano de dimensão finita W e de um subespaço Usubseteq W. Queremos mostrar que o complemento ortogonal do complemento ortogonal de U volta a ser exatamente U, ou seja,
(U^perp)^perp = U

Passo 2

Primeiro mostramos a inclusão U subseteq (U^perp)^perp.
Seja uin U. Por definição de complemento ortogonal, qualquer vetor vin U^perp satisfaz lang<= v,urang<= =0. Mas isso significa que u é ortogonal a todo vetor de U^perp, isto é,
lang<= u,vrang<= = 0forall,vin U^perp,
logo uin (U^perp)^perp. Portanto
U subseteq (U^perp)^perp

Passo 3

Agora usamos contagem de dimensões para concluir igualdade de subespaços. Num espaço euclidiano finito vale sempre
dim U + dim U^perp = dim W
Do mesmo modo, aplicando isso a U^perp em lugar de U, obtemos
dim (U^perp)^perp + dim U^perp = dim W
Subtraindo dim U^perp em ambos, segue
dim (U^perp)^perp = dim U
Temos então um subespaço (U^perp)^perp que contém U e tem a mesma dimensão de U. Isto força
(U^perp)^perp = U

Resposta

(U^perp)^perp = U.

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