Considere B=(i, j, k) uma base ortonormal positiva. Determine x tal que:
rlc (i-2 k) wed>= x & = & 2 i+j+k x cdot(i+3 j-k) & = & 10

Passo 1

O enunciado pede para achar um vetor xinR^3 escrito na base ortonormal positiva B=(i,j,k), sujeito a duas condições:
  1. Um produto vetorial
(i-2k)wed>= x=2i+j+k,
  1. Um produto escalar
xcdot(i+3j-k)=10
O conteúdo que vamos usar é a definição do produto vetorial em coordenadas (determinante de matriz 3times3) e a linearidade do produto escalar para montar um sistema linear nas componentes de x.

Passo 2

Escrevemos
x=x1,i+x2,j+x3,k
Então a=i-2k tem coordenadas (1,0,-2) e x tem (x1,x2,x3). O produto vetorial awed>= x é dado por
awed>=x =det i&j&k 1&0&-2 x1&x2&x3 =l(0cdot x3-(-2),x2r)i -l(1cdot x3-(-2),x1r)j +l(1cdot x2-0cdot x1r)k

Passo 3

Simplificando os componentes do produto vetorial, obtemos
awed>=x =(2x2),i -(x3+2x1),j +(x2),k
Como isso deve ser igual a 2i+j+k, igualamos componente a componente:
2x2=2, -(x3+2x1)=1, x2=1
Da primeira e da terceira equações vem
x2=1,
e da segunda
x3+2x1=-1

Passo 4

A condição do produto escalar é
xcdot(i+3j-k) =x1+3x2-x3=10
Substituindo x2=1 nesta equação dá
x1 - x3 =10-3 =7
Agora resolvemos o sistema em x1,x3:
x3+2x1=-1, -x3+x1=7
Somando as duas equações:
(x3- x3)+2x1+x1 = -1+7 ;Longrightarrow;3x1=6 ;Longrightarrow;x1=2
Então
x3=-1-2x1=-1-4=-5

Resposta

x=2,i+1,j-5,k

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