Seja uma base ortonormal positiva. E sejam e vetores de coordenadas e , respectivamente.
Seja e v=A C, Qual é a área do paralelogramo A B C D (onde B D=A C )?
Passo 1
O enunciado dá uma base ortonormal positiva E e os vetores vec u, vec v e vec w com coordenadas em E iguais a (1,2,3), (4,-1,2) e (-3,0,1). Em seguida definem vec u=AB e vec v=AC e pedem a área do paralelogramo ABCD em que BD=AC. O conteúdo aqui é cálculo vetorial em R^3: para achar a área de um paralelogramo gerado por dois vetores usamos o produto vetorial e a norma deste.
Passo 2
Escolhendo A como origem, temos B no ponto de coordenadas vec u=(1,2,3) e C no ponto de coordenadas vec v=(4,-1,2).
Como BD=AC=vec v, o ponto D fica em vec u+vec v. Logo o paralelogramo é gerado pelos vetores vec u e vec v.
Passo 3
A área do paralelogramo com lados vec u e vec v em R^3 é dada por
Área = |vec u times vec v| Á
Passo 4
Calculamos o produto vetorial
vec u times vec v = i & j & k 1 & 2 & 3 4 & -1 & 2 = 7,i + 10,j - 9,k