Seja E uma base ortonormal positiva. E sejam u, v e w vetores de coordenadas (1,2,3)E,(4,-1,2)E e (-3,0,1)E, respectivamente.
Seja u=A B e v=A C, Qual é a área do paralelogramo A B C D (onde B D=A C )?

Passo 1

O enunciado dá uma base ortonormal positiva E e os vetores vec u, vec v e vec w com coordenadas em E iguais a (1,2,3), (4,-1,2) e (-3,0,1). Em seguida definem vec u=AB e vec v=AC e pedem a área do paralelogramo ABCD em que BD=AC. O conteúdo aqui é cálculo vetorial em R^3: para achar a área de um paralelogramo gerado por dois vetores usamos o produto vetorial e a norma deste.

Passo 2

Escolhendo A como origem, temos
B no ponto de coordenadas vec u=(1,2,3) e
C no ponto de coordenadas vec v=(4,-1,2).
Como BD=AC=vec v, o ponto D fica em vec u+vec v. Logo o paralelogramo é gerado pelos vetores vec u e vec v.

Passo 3

A área do paralelogramo com lados vec u e vec v em R^3 é dada por
Área = |vec u times vec v| Á

Passo 4

Calculamos o produto vetorial
vec u times vec v = i & j & k 1 & 2 & 3 4 & -1 & 2 = 7,i + 10,j - 9,k

Passo 5

A norma do vetor vec utimes vec v = (7,10,-9) é
|vec utimes vec v| = raiz7^2 + 10^2 + (-9)^2 = raiz49 + 100 + 81 = raiz230

Resposta

raiz230

Exercícios relacionados