Considere a base do R^3 formada pelos vetores (1,1,1),(-2,2,1) e (1,-1,3). A partir dela calcule:
Uma base ortogonal e denote ela por B1;

Passo 1

O enunciado dá a base
v1,v2,v3subsetR^3 com
v1=(1,1,1), v2=(-2,2,1), v3=(1,-1,3),
e pede uma base ortogonal B1.
Para isso vamos usar o processo de Gram–Schmidt, que constrói vetores u1,u2,u3 tais que cada uk é ortogonal a todos os anteriores.

Passo 2

Definimos
u1=v1=(1,1,1)

Passo 3

Calculamos
proju1v2 =lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 com lang<= v2,u1rang<==(-2)cdot1+2cdot1+1cdot1=1, lang<= u1,u1rang<==3
Logo
u2 =v2-13u1 =(-2,2,1)-tfrac13(1,1,1) =l(-tfrac73,tfrac53,tfrac23r)
Para evitar frações, podemos escalar u2 por 3 sem perder ortogonalidade, ficando
u2=(-7,5,2)

Passo 4

Agora
proju1v3 =lang<= v3,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=u1 e proju2v3 =lang<= v3,u2rang<=lang<= u2,u2rang<=u2
Calculamos
lang<= v3,u1rang<==1-1+3=3,
lang<= u1,u1rang<==3 Rightarrow proju1v3=(1,1,1),
lang<= v3,u2rang<==1cdot(-7)+(-1)cdot5+3cdot2=-6,
lang<= u2,u2rang<==78 Rightarrow proju2v3=-tfrac678(-7,5,2)=(tfrac713,-tfrac513,-tfrac213).
Então
u3 =v3-(1,1,1)-l(tfrac713,-tfrac513,-tfrac213r) =l(-tfrac713,-tfrac2113,tfrac2813r)
Escalando por 13 para limpar frações, temos
u3=(-7,-21,28)

Passo 5

Os vetores u1=(1,1,1), u2=(-7,5,2) e u3=(-7,-21,28) estão mutuamente ortogonais e formam a base ortogonal B1.

Resposta

B1=(1,1,1),,(-7,5,2),,(-7,-21,28).

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