Considere a transformação linear T: R^2 longrightarrow R^3 dada por T(x, y)=(x+y, 2 x-2 y, 3 x-y).
Calcule a imagem de T;

Passo 1

O enunciado define a transformação linear Tcolon R^2toR^3 por
T(x,y)=(x+y,;2x-2y,;3x-y)
O objetivo é encontrar Im(T), que é o subespaço de R^3 gerado pelas imagens dos vetores de uma base de R^2.

Passo 2

Tomamos a base canônica de R^2, ,e1=(1,0) e e2=(0,1). Calculamos:
T(e1)=T(1,0)=(1+0,;2cdot1-2cdot0,;3cdot1-0)=(1,2,3),
T(e2)=T(0,1)=(0+1,;2cdot0-2cdot1,;3cdot0-1)=(1,-2,-1)
Chamemos v1=(1,2,3) e v2=(1,-2,-1).

Passo 3

Por definição de imagem de transformação linear,
Im(T)=spanv1,v2
Para ver que esse espaço tem dimensão 2, basta observar que a única solução do sistema
c1,v1 + c2,v2 = (0,0,0)
é c1=c2=0, logo v1 e v2 são linearmente independentes.

Passo 4

Podemos descrever esse plano de outra forma. Seja (u1,u2,u3)inIm(T). Então existem a,binR tais que
(u1,u2,u3) = a,(1,2,3) + b,(1,-2,-1) = (a+b,;2a-2b,;3a-b)
Dessa expressão segue
u2 = 2a-2b, u1 = a+b, u3 = 3a-b
e, eliminando a e b, obtém-se
u2 = u3 - u1,
ou seja,
u1 + u2 - u3 = 0

Resposta

Im(T) = span(1,2,3),,(1,-2,-1) = l(u1,u2,u3)inR^3 mid u1+u2-u3=0r

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