Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de R^3 (com justificativa de cada resposta):
todos os vetores da forma (a ; 0 ; 0).

Passo 1

Resumindo, estamos em R^3 e o subconjunto em questão é
S = (a,0,0)mid ainR
Para mostrar que S é subespaço vetorial de R^3, precisamos verificar três propriedades:
  1. O vetor zero de R^3 pertence a S.
  2. S é fechado sob adição.
  3. S é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificação do vetor zero: o vetor zero de R^3 é (0,0,0). Como basta escolher a=0 em (a,0,0), temos
(0,0,0)in S
Logo, o vetor zero está em S.

Passo 3

Fechamento sob adição: tomemos dois vetores arbitrários em S, digamos
u=(a1,0,0), v=(a2,0,0),
com a1,a2inR. A soma é
u+v = (a1,0,0)+(a2,0,0) = (a1+a2,;0+0,;0+0) = (a1+a2,0,0)
Como a1+a2 é real, concluímos que u+vin S.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar: seja lambdainR e u=(a,0,0)in S. Então
lambda u = lambda,(a,0,0) = (lambda a,;0,;0),
e lambda a é real, portanto lambda uin S.

Resposta

S satisfaz as três propriedades (contém o zero, é fechado em soma e em produto escalar).
Logo, o conjunto de todos os vetores da forma (a,0,0) é um subespaço de R^3.

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