Considere a base do R^3 formada pelos vetores (1,1,1),(-2,2,1) e (1,-1,3). A partir dela calcule:
Uma base ortonormal e denote ela por B2;

Passo 1

Temos em R^3 a base v1,v2,v3 com
v1=(1,1,1), v2=(-2,2,1), v3=(1,-1,3),
e queremos obter uma base ortonormal B2=e1,e2,e3 a partir dela. Vamos usar o Processo de Gram–Schmidt, que gera vetores ortogonais
u1=v1, uk = vk - sumi=1^k-1projui(vk),
com proju(v)=dfracvcdot u|u|^2u, e depois normalizamos ek=uk/|uk|.

Passo 2

Tomamos
u1 = v1 = (1,1,1),
cujo comprimento é
|u1| = raiz1^2+1^2+1^2 = raiz3
Logo
e1 = u1|u1| = 1raiz3,(1,1,1)

Passo 3

Para u2 subtraímos de v2 a projeção em u1:
v2cdot u1 = (-2)cdot1 + 2cdot1 + 1cdot1 = 1, proju1(v2) = 1|u1|^2,u1 = 13(1,1,1)
Portanto
u2 = v2 - 13(1,1,1) = l(-2-tfrac13,;2-tfrac13,;1-tfrac13r) = 13(-7,5,2)
O comprimento é
|u2| = 13raiz(-7)^2 + 5^2 + 2^2 = raiz783,
e assim
e2 = u2|u2| = (-7,5,2)/3(raiz78/3) = 1raiz78,(-7,5,2)

Passo 4

Para u3 tiramos de v3 as projeções em u1 e u2. Primeiro
v3cdot u1 = 1cdot1 +(-1)cdot1 +3cdot1 = 3, proju1(v3) = 33(1,1,1) = (1,1,1)
Depois
v3cdot u2 = (1,-1,3)cdot13(-7,5,2) = -7 -5 +63 = -63 = -2,
mas note que usamos a forma com u2=(-7,5,2)/3, então
proju2(v3) = v3cdot u2|u2|^2,u2 = -2(raiz78/3)^2,13(-7,5,2) = -278/9,13(-7,5,2) = -2cdot978cdot3(-7,5,2) = 113(7,-5,-2)
Então
u3 = v3 - (1,1,1) - tfrac113(7,-5,-2) = (1,-1,3) - (1,1,1) - l(tfrac713,-tfrac513,-tfrac213r) = 713(-1,-3,4)
O comprimento é
|u3| = 713raiz(-1)^2+(-3)^2+4^2 = 7raiz2613,
logo
e3 = u3|u3| = (7/13)(-1,-3,4)(7raiz26/13) = 1raiz26,(-1,-3,4)

Resposta

Uma base ortonormal B2 é
e1 = 1raiz3(1,1,1), e2 = 1raiz78(-7,5,2), e3 = 1raiz26(-1,-3,4)

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