Considere a transformação linear T: R^2 longrightarrow R^3 dada por T(x, y)=(x+y, 2 x-2 y, 3 x-y).
T é sobrejetiva? Prove;

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^2 to R^3, T(x,y)=(x+y,;2x-2y,;3x-y),
e pergunta se T é sobrejetiva, isto é, se para todo (a,b,c)in R^3 existe (x,y)in R^2 tal que
T(x,y)=(a,b,c)
Para resolver, vamos montar e analisar o sistema linear correspondente.

Passo 2

Escrevendo as três equações obtidas de T(x,y)=(a,b,c):
a = x + y,
b = 2x - 2y,
c = 3x - y
Da primeira equação isolamos
y = a - x
e substituímos na segunda:
b = 2x - 2(a - x) = 4x - 2a ;Longrightarrow; x = b + 2a4
Em seguida,
y = a - x = a - b + 2a4 = 4a - (b + 2a)4 = 2a - b4

Passo 3

Para que esse (x,y) também satisfaça a terceira equação precisamos de
c = 3x - y = 3cdotb+2a4 ;-;2a-b4 = 6a+3b -2a + b4 = a + b
Portanto só existem soluções se e somente se
c = a + b
Isso mostra que
Im(T) = l(a,b,c)in R^3 mid c = a+br,
que é um plano em R^3 e não todo R^3.

Resposta

T não é sobrejetiva, pois sua imagem é o plano (a,b,c)mid c=a+b, um subespaço próprio de R^3.

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