Considere a transformação linear
dada por
.
é sobrejetiva? Prove;
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pergunta se
é sobrejetiva, isto é, se para todo
existe
tal que
Para resolver, vamos montar e analisar o sistema linear correspondente.
Passo 2
Escrevendo as três equações obtidas de
:
Da primeira equação isolamos
e substituímos na segunda:
Em seguida,
Passo 3
Para que esse
também satisfaça a terceira equação precisamos de
Portanto só existem soluções se e somente se
Isso mostra que
que é um plano em
e não todo
.