Verifique se as seguintes transformações T: R^2 longrightarrow R^3 são lineares.
T(x, y)=(x+y, 2 x-2 y, 3 x-y+1);

Passo 1

O enunciado define a transformação
Tcolon R^2 to R^3, T(x,y) = (,x+y,;2x-2y,;3x - y + 1,)
e pede para verificar se T é linear. Para isso, vamos usar a definição: T é linear se, e somente se, para quaisquer vetores u,vinR^2 e escalar cinR, tivermos
  1. T(u+v)=T(u)+T(v),
  2. T(c,u)=c,T(u).
    Uma forma rápida de testar é verificar se T(0,0)=(0,0,0), pois todo operador linear deve enviar o vetor zero no domínio ao vetor zero no contradomínio.

Passo 2

Calculemos
T(0,0) = l(0+0,;2cdot0-2cdot0,;3cdot0 - 0 + 1r) = (0,0,1)
Como o resultado é (0,0,1) e não (0,0,0), a condição T(0)=0 falha.

Resposta

A transformação T não é linear, pois não satisfaz T(0,0)=(0,0,0).

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