Considere a base do R^3 formada pelos vetores (1,1,1),(-2,2,1) e (1,-1,3). A partir dela calcule:
Encontre as coordenadas do vetor (1,2,-1) relativamente a base B1;

Passo 1

O enunciado dá a base B1=(1,1,1),,(-2,2,1),,(1,-1,3) de R^3 e pede as coordenadas do vetor (1,2,-1) nessa base. O conteúdo é representação de vetores em uma base, e para isso vamos escrever
(1,2,-1)=a(1,1,1)+b(-2,2,1)+c(1,-1,3)
e resolver para a,b,c.

Passo 2

Da combinação acima extraímos o seguinte sistema linear:
a - 2b + c = 1, a + 2b - c = 2, a + b + 3c = -1

Passo 3

Primeiro subtraímos a segunda equação da primeira:
(a+2b-c)-(a-2b+c)=2-1 ;Longrightarrow;4b-2c=1 ;Longrightarrow;2b-c=tfrac12 ;Longrightarrow;c=2b-tfrac12
Substituindo c em a-2b+c=1:
a-2b+(2b-tfrac12)=1 ;Longrightarrow;a-tfrac12=1 ;Longrightarrow;a=tfrac32

Passo 4

Finalmente, em a+b+3c=-1 usamos a=tfrac32 e c=2b-tfrac12:
tfrac32 + b +3l(2b-tfrac12r)=-1 ;Longrightarrow;tfrac32 +7b-tfrac32=-1 ;Longrightarrow;7b=-1 ;Longrightarrow;b=-tfrac17,
e daí
c=2l(-tfrac17r)-tfrac12 =-tfrac27-tfrac12 =-tfrac1114

Resposta

As coordenadas de (1,2,-1) na base B1 são
l(tfrac32,,-tfrac17,,-tfrac1114r)

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