Escreva a equação geral da circunferência que passa pela origem do sistema cartesiano e tem centro C(4 raiz3,-1). O ponto P(8 raiz3, 0) pertence à circunferência?

Passo 1

O enunciado pede a equação geral da circunferência que passa pela origem e tem centro em C(4raiz3,-1), além de verificar se P(8raiz3,0) pertence a essa circunferência. Vamos usar a fórmula da distância para determinar o raio e em seguida escrever a equação padrão.

Passo 2

Para encontrar o raio R da circunferência, calculamos a distância entre o centro C e a origem O(0,0). Logo,
R^2 = (4raiz3-0)^2 + (-1-0)^2 = (4raiz3)^2 + (-1)^2 = 48 + 1 = 49

Passo 3

A equação geral da circunferência de centro (x0,y0) e raio R é
(x-x0)^2 + (y-y0)^2 = R^2
Substituindo (x0,y0) = (4raiz3,-1) e R^2=49, obtemos
(x-4raiz3)^2 + (y+1)^2 = 49

Passo 4

Para verificar se P(8raiz3,0) pertence à circunferência, substituímos suas coordenadas na equação:
(8raiz3-4raiz3)^2 + (0+1)^2 = (4raiz3)^2 + 1^2 = 48 + 1 = 49,
que coincide com R^2. Portanto, P está na circunferência.

Resposta

A equação geral da circunferência é
(x-4raiz3)^2 + (y+1)^2 = 49
O ponto P(8raiz3,0) pertence a essa circunferência.

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