Considere a transformação linear
dada por
.
é injetiva? Prove.
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear
e pergunta se
é injetiva. Para isso, vamos usar o conceito de núcleo de uma transformação linear.
Passo 2
Lembrando que uma transformação linear
é injetiva se, e somente se,
Ou seja, só o vetor nulo deve ir para o vetor nulo.
Passo 3
Vamos determinar
resolvendo
Isto é, temos o sistema
Passo 4
Da primeira equação vem
y = -x . Substituindo na segunda:
logo
y = -0 = 0 . Verificamos que a terceira equação fica satisfeita automaticamente. Portanto
Passo 5
Como o núcleo de
T é apenas o vetor nulo, concluímos que
T é injetiva.