Considere a transformação linear T: R^2 longrightarrow R^3 dada por T(x, y)=(x+y, 2 x-2 y, 3 x-y).
T é injetiva? Prove.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
Tcolon R^2 to R^3, T(x,y) = (,x+y,;2x-2y,;3x-y,)
e pergunta se T é injetiva. Para isso, vamos usar o conceito de núcleo de uma transformação linear.

Passo 2

Lembrando que uma transformação linear T é injetiva se, e somente se,
ker(T) = (0,0)
Ou seja, só o vetor nulo deve ir para o vetor nulo.

Passo 3

Vamos determinar ker(T) resolvendo
T(x,y) = (0,0,0)
Isto é, temos o sistema
x + y = 0, 2x - 2y = 0, 3x - y = 0

Passo 4

Da primeira equação vem y = -x. Substituindo na segunda:
2x - 2(-x) = 4x = 0 ;Longrightarrow; x = 0,
logo y = -0 = 0. Verificamos que a terceira equação fica satisfeita automaticamente. Portanto
ker(T) = (0,0)

Passo 5

Como o núcleo de T é apenas o vetor nulo, concluímos que T é injetiva.

Resposta

T é injetiva.

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