Considere a base do R^3, B=(1,1,0),(1,1,1),(1,-2,-1) e seja C a base canônica do R^2. Se T: R^3 longrightarrow R^3 é a transformação linear definida por T(x, y, z)=(x-y+2 z, x-y-z). Determine a matriz [T]B^C

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a matriz da transformação linear T: R^3 R^2 definida por T(x, y, z) = (x - y + 2z, x - y - z) , em relação à base B = (1,1,0), (1,1,1), (1,-2,-1) de R^3 e à base canônica C de R^2 . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transformação linear, mudança de base e representação matricial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear T pode ser representada por uma matriz quando escolhemos bases para os espaços de partida e chegada. A matriz [T]B^C vai ter colunas que são as imagens dos vetores da base B sob T , expressas na base C .

Passo 3

Vamos encontrar a imagem de cada vetor da base B pela transformação T .
  1. Para b1 = (1, 1, 0) :
T(1, 1, 0) = (1 - 1 + 2 cdot 0, 1 - 1 - 0) = (0, 0)
  1. Para b2 = (1, 1, 1) :
T(1, 1, 1) = (1 - 1 + 2 cdot 1, 1 - 1 - 1) = (2, -1)
  1. Para b3 = (1, -2, -1) :
T(1, -2, -1) = (1 - (-2) + 2 cdot (-1), 1 - (-2) - (-1)) = (1 + 2 - 2, 1 + 2 + 1) = (1, 4)

Passo 4

Agora, precisamos expressar essas imagens na base canônica C de R^2 . Como C é a base padrão, as coordenadas já estão na forma necessária. Ou seja:
[T(b1)]C = 0 0 , [T(b2)]C = 2 -1 , [T(b3)]C = 1 4

Passo 5

Por fim, construímos a matriz [T]B^C colocando essas coordenadas como colunas:
[T]B^C = 0 & 2 & 1 0 & -1 & 4

Resposta

A matriz [T]B^C é:
[T]B^C = 0 & 2 & 1 0 & -1 & 4

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