Determine quais das seguintes transformações lineares são isomorfismos, aquelas que forem isomorfismos, obtenha o isomorfismo inverso. , onde .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou está no campo da Álgebra Linear e trata de transformações lineares. Precisamos determinar quais transformações lineares são isomorfismos e, para aquelas que forem isomorfismos, encontrar o isomorfismo inverso. A transformação que vamos analisar é:
T: M2(R) longrightarrow M2(R), T(A) = M cdot A - A cdot M
onde
M = 1 & 2 2 & 2
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um isomorfismo de espaços vetoriais e verificar se a transformação T satisfaz essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um isomorfismo. Em Álgebra Linear, um isomorfismo entre dois espaços vetoriais é uma transformação linear que é bijetora, ou seja, injetora (cada imagem vem de um único elemento do domínio) e sobrejetora (cobre todo o espaço de chegada).
Então, para T ser um isomorfismo, ela precisa atender a essas duas condições. Vamos verificar cada uma delas.
Passo 3
Verificando se [T) é injetora:
Uma transformação linear é injetora se seu núcleo (conjunto de todos os elementos que passam para o zero) contém apenas o vetor zero. Ou seja, se implica que .
Então, vamos resolver a equação:
Isso significa que:
Estamos procurando todas as matrizes que comutam com . Se a única solução for , então é injetora.
Vamos analisar a matriz :
Para encontrar , vamos supor que:
Calculando e :
Igualando :
Simplificando as equações:
⇒
⇒
⇒ (usando ) ⇒
⇒ ⇒ (confirma o que já encontramos)
Agora, da equação 2 e 3:
Da equação 2:
Da equação 3:
As duas equações são iguais, o que significa que não há restrições adicionais além de .
Portanto, as matrizes que satisfazem são aquelas onde e .
Isso mostra que existem infinitas matrizes que comutam com , ou seja, o núcleo de não contém apenas o zero.
Passo 4
Já que o núcleo de T não é trivial (contém mais matrizes além da matriz zero), a transformação T não é injetora. E, por consequência, não pode ser um isomorfismo, porque precisa ser injetora e sobrejetora.
Passo 5
Como T não é injetora, ela não é um isomorfismo. Portanto, não podemos encontrar um isomorfismo inverso para T .
Resposta
A transformação linear T não é um isomorfismo, pois não é injetora.