Determine quais das seguintes transformações lineares são isomorfismos, aquelas que forem isomorfismos, obtenha o isomorfismo inverso. .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma transformação linear definida por . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares e isomorfismos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um isomorfismo e como verificar se uma transformação linear é bijetora (ou seja, injetora e sobrejetora). Se for isomorfismo, também vamos achar o inverso dessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um isomorfismo. Em Álgebra Linear, uma transformação linear é um isomorfismo se ela for bijetora, ou seja, cada elemento de é imagem de exatamente um elemento de . Isso significa que precisa ser injetora (nenhum dois vetores diferentes de vão para o mesmo vetor em ) e sobrejetora (todo vetor em tem um vetor correspondente em ).
Passo 3
Para verificar se a transformação é isomorfismo, vamos analisar a matriz associada a . A matriz de é composta pelos coeficientes das variáveis , e nas expressões que definem . Então, a matriz de é:
Passo 4
Agora, para verificar se T é isomorfismo, precisamos ver se essa matriz A é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de A :
O determinante de A é zero, o que significa que a matriz não é invertível. Portanto, a transformação linear T não é um isomorfismo, já que não é bijetora.
Resposta
A transformação linear T(x, y, z) = (x - y - 2z, -x + 2y + z, x - 3z) não é um isomorfismo, pois sua matriz associada tem determinante igual a zero, indicando que não é invertível.