Determine quais das seguintes transformações lineares são isomorfismos, aquelas que forem isomorfismos, obtenha o isomorfismo inverso.
T: R^3 longrightarrow R^3, T(x, y, z)=(x-y-2 z,-x+2 y+z, x-3 z).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma transformação linear T: R^3 R^3 definida por T(x, y, z) = (x - y - 2z, -x + 2y + z, x - 3z) . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares e isomorfismos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um isomorfismo e como verificar se uma transformação linear é bijetora (ou seja, injetora e sobrejetora). Se for isomorfismo, também vamos achar o inverso dessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um isomorfismo. Em Álgebra Linear, uma transformação linear T: V W é um isomorfismo se ela for bijetora, ou seja, cada elemento de W é imagem de exatamente um elemento de V . Isso significa que T precisa ser injetora (nenhum dois vetores diferentes de V vão para o mesmo vetor em W ) e sobrejetora (todo vetor em W tem um vetor correspondente em V ).

Passo 3

Para verificar se a transformação T é isomorfismo, vamos analisar a matriz associada a T . A matriz de T é composta pelos coeficientes das variáveis x , y e z nas expressões que definem T(x, y, z) . Então, a matriz A de T é:
A = 1 & -1 & -2 -1 & 2 & 1 1 & 0 & -3

Passo 4

Agora, para verificar se T é isomorfismo, precisamos ver se essa matriz A é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de A :
det(A) = 1 cdot 2 & 1 0 & -3 - (-1) cdot -1 & 1 1 & -3 + (-2) cdot -1 & 2 1 & 0
Calculando cada menor:
2 & 1 0 & -3 = (2)(-3) - (1)(0) = -6
-1 & 1 1 & -3 = (-1)(-3) - (1)(1) = 3 - 1 = 2
-1 & 2 1 & 0 = (-1)(0) - (2)(1) = 0 - 2 = -2
Substituindo de volta:
det(A) = 1 cdot (-6) - (-1) cdot 2 + (-2) cdot (-2) = -6 + 2 + 4 = 0

Passo 5

O determinante de A é zero, o que significa que a matriz não é invertível. Portanto, a transformação linear T não é um isomorfismo, já que não é bijetora.

Resposta

A transformação linear T(x, y, z) = (x - y - 2z, -x + 2y + z, x - 3z) não é um isomorfismo, pois sua matriz associada tem determinante igual a zero, indicando que não é invertível.

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