Considere U=e1, e2 base de R^2 e sejam v1=e1+2 e2, v2=2 e1+e2,w1=e1+e2, w2= e1+3 e2.
Encontrar a matriz mudança de base de U para V e a de V para W.

Passo 1

O enunciado nos dá a base canônica U=e1,e2 de R^2 e duas outras bases
V=v1,v2 com
v1 = e1 + 2e2, v2 = 2e1 + e2
e
W=w1,w2 com
w1 = e1 + e2, w2 = e1 + 3e2
Precisamos achar
1. a matriz de mudança de base de U para V, e
2. a matriz de mudança de base de V para W.
O conteúdo usado será representação de vetores em diferentes bases e a relação
[x]nova = Pantigatonova,[x]antiga

Passo 2

Para ir de U (canônica) para V, basta colocar nas colunas as coordenadas de v1 e v2 na base U.
  • v1 = 1cdot e1 + 2cdot e2 dá coluna 12.
  • v2 = 2cdot e1 + 1cdot e2 dá coluna 21.
    Logo a matriz de UtoV é
PUtoV = 1 & 22 & 1

Passo 3

Similarmente, para ir de U para W, montamos
PUtoW = l[,w1;;w2r]U = 1 & 11 & 3

Passo 4

Queremos PVtoW tal que, para qualquer vetor x,
[x]W = PVtoW,[x]V
Usamos a decomposição
[x]W = l(PUtoWr)^-1,[x]U = l(PUtoWr)^-1, l(PUtoVr),[x]V
Logo
PVtoW = l(PUtoWr)^-1, PUtoV
Calculemos l(PUtoWr)^-1. Como
PUtoW = 1 & 11 & 3,
o determinante é 1cdot3-1cdot1=2, então
l(PUtoWr)^-1 = 123 & -1-1 & 1
Multiplicando por PUtoV=1&22&1,
PVtoW = 123 & -1-1 & 1 1 & 22 & 1 = 123-2 & 6-1-1+2 & -2+1 = 121 & 51 & -1
Portanto,
PVtoW = tfrac12 & tfrac52[4pt]tfrac12 & -tfrac12 ]

Resposta

A matriz de mudança de base de U para V é
PUtoV = 1 & 22 & 1,
e a de V para W é
PVtoW = tfrac12 & tfrac52[4pt]tfrac12 & -tfrac12 ]

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