No R^4, considere os subespaços: U=(x, y, z, w) in R^4: x+z=0 e y+w=0 e W gerado pelos vetores (3,4,-1,0),(1,-1,-5,-7),(2,3,0,1). Encontre bases para U, W, U+W e U cap W. Encontre uma base ortogonal para U.

Passo 1

O enunciado nos pede bases para os subespaços U, W, U+W e Ucap W em R^4, além de uma base ortogonal para U. Vamos usar conceitos de espaços vetoriais, resolução de sistemas lineares para encontrar bases e a fórmula
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W)
Para a parte ortogonal utilizaremos o produto interno usual em R^4.

Passo 2

Para achar uma base de U=(x,y,z,w)inR^4: x+z=0,;y+w=0, escrevemos as restrições:
z=-x, w=-y
Logo
(x,y,z,w)=(x,y,-x,-y)=x,(1,0,-1,0)+y,(0,1,0,-1),
e uma base de U é
BU=(1,0,-1,0),;(0,1,0,-1)

Passo 3

Para W=spanv1,v2,v3 com
v1=(3,4,-1,0),; v2=(1,-1,-5,-7),; v3=(2,3,0,1),
checamos dependência linear. Da combinação
alpha v1+beta v2+gamma v3=0
vem o sistema
3alpha+beta+2gamma=0,; 4alpha-beta+3gamma=0,; -alpha-5beta=0,; -7beta+gamma=0
Dessa forma alpha=-5beta, gamma=7beta e sobra um grau de liberdade, logo dim W=2. Podemos escolher, por exemplo,
BW=v1,;v3=(3,4,-1,0),;(2,3,0,1)

Passo 4

Para Ucap W tomamos um vetor genérico de U,
(x,y,-x,-y),
e exigimos que exista alpha,beta tais que
alpha(3,4,-1,0)+beta(2,3,0,1)=(x,y,-x,-y)
Das coordenadas obtém-se alpha=x, beta=-y e a condição x=y. Assim
Ucap W=(x,x,-x,-x):xinR =span(1,1,-1,-1),
de dimensão 1.

Passo 5

Usando dim(U+W)=2+2-1=3, basta juntar bases e retirar dependências. Por exemplo,
BU+W=(1,0,-1,0),;(0,1,0,-1),;(3,4,-1,0)
é um conjunto de três vetores que geram U+W e é linearmente independente.

Passo 6

O produto interno usual em R^4 mostra que
(1,0,-1,0)cdot(0,1,0,-1)=1cdot 0+0cdot1+(-1)cdot0+0cdot(-1)=0,
portanto a base BU já é ortogonal. Assim
(1,0,-1,0),;(0,1,0,-1)
é uma base ortogonal de U.

Resposta

Base de U: (1,0,-1,0),,(0,1,0,-1)
Base de W: (3,4,-1,0),,(2,3,0,1)
Base de Ucap W: (1,1,-1,-1)
Base de U+W: (1,0,-1,0),,(0,1,0,-1),,(3,4,-1,0)
Base ortogonal de U: (1,0,-1,0),,(0,1,0,-1)

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