No
, considere os subespaços:
e
e
gerado pelos vetores
. Encontre bases para
,
e
. Encontre uma base ortogonal para
.
Passo 1
O enunciado nos pede bases para os subespaços
e
em
, além de uma base ortogonal para
. Vamos usar conceitos de espaços vetoriais, resolução de sistemas lineares para encontrar bases e a fórmula
Para a parte ortogonal utilizaremos o produto interno usual em
.
Passo 2
Para achar uma base de
, escrevemos as restrições:
Logo
e uma base de
é
Passo 3
Para
com
checamos dependência linear. Da combinação
vem o sistema
Dessa forma
,
e sobra um grau de liberdade, logo
. Podemos escolher, por exemplo,
Passo 4
Para
tomamos um vetor genérico de
,
e exigimos que exista
tais que
Das coordenadas obtém-se
,
e a condição
. Assim
de dimensão 1.
Passo 5
Usando
, basta juntar bases e retirar dependências. Por exemplo,
é um conjunto de três vetores que geram
e é linearmente independente.
Passo 6
O produto interno usual em
mostra que
portanto a base
já é ortogonal. Assim
é uma base ortogonal de
.
Resposta
Base de
:
Base de :
Base de :
Base de :
Base ortogonal de :
Base de
Base de
Base de
Base ortogonal de