Seja E=e1, e2, e3, e4 uma base de R^4. Considere a aplicação linear definida por f(e1)= -2 e1-3 e4, f(e2)=10 e1+2 e2-6 e3+8 e4, f(e3)=3 e1+e2-3 e3+e4 e f(e4)=5 e1+e2-3 e3+4 e4.
Encontre a matriz de f na base E.

Passo 1

O enunciado nos dá uma aplicação linear
fcolon R^4to R^4
definida sobre a base E=e1,e2,e3,e4 por imagens de cada vetor da base.
O objetivo é encontrar a matriz de f nessa mesma base. Para isso vamos usar o fato de que a j-ésima coluna da matriz de f em E é exatamente o vetor de coordenadas de f(ej) em E.

Passo 2

Por definição de matriz de aplicação linear em uma base, para cada j=1,2,3,4 a coluna j da matriz de f em E é o vetor de coordenadas de f(ej) em E. Ou seja, se
f(ej)=a1je1 + a2je2 + a3je3 + a4je4,
então a coluna j é l(a1j,a2j,a3j,a4jr)^T.

Passo 3

Vamos extrair as coordenadas de cada f(ej):
Temos
f(e1) = -2,e1;-;3,e4,
logo as coordenadas de f(e1) em E são
(-2,;0,;0,;-3)
De modo similar,
f(e2)=10,e1+2,e2-6,e3+8,e4 longrightarrow (10,;2,;-6,;8),
f(e3)=3,e1+e2-3,e3+e4 longrightarrow (3,;1,;-3,;1),
f(e4)=5,e1+e2-3,e3+4,e4 longrightarrow (5,;1,;-3,;4)

Passo 4

Bast a juntar os vetores de coordenadas de f(e1), f(e2), f(e3) e f(e4), nessa ordem, como colunas da matriz buscada.

Resposta

MatE(f) = -2 & 10 & 3 & 5 0 & 2 & 1 & 1 0 & -6 & -3 & -3 -3 & 8 & 1 & 4

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