Seja E=e1, e2, e3, e4 uma base de R^4. Considere a aplicação linear definida por f(e1)= -2 e1-3 e4, f(e2)=10 e1+2 e2-6 e3+8 e4, f(e3)=3 e1+e2-3 e3+e4 e f(e4)=5 e1+e2-3 e3+4 e4.
Verifique se f é injetora.

Passo 1

O enunciado define fcolon R^4toR^4 pela imagem dos vetores da base E=e1,e2,e3,e4. Queremos verificar se f é injetora, ou seja, se ker f=0. Uma forma padrão é montar a matriz de f na base E e checar se ela é invertível (determinante não nulo).

Passo 2

A matriz de f em relação à base E tem colunas dadas pelas coordenadas de f(ei). Assim
A = -2 & 10 & 3 & 5 0 & 2 & 1 & 1 0 & -6 & -3 & -3 -3 & 8 & 1 & 4

Passo 3

Sabemos que f é injetora se, e somente se, det(A)neq0. Vamos calcular det(A) expandindo ao longo da primeira coluna. Como os elementos a21 e a31 são zero, só restam as contribuições de a11=-2 e a41=-3:
det(A) = a11cdotdet(B);-;a41cdotdet(C),
onde
B= 2 & 1 & 1 -6 & -3 & -3 8 & 1 & 4 , C= 10 & 3 & 5 2 & 1 & 1 -6 & -3 & -3

Passo 4

Calculemos os dois determinantes:
det(B) =2-3 & -31 & 4 -1-6 & -38 & 4 +1-6 & -38 & 1 =2(-12+3)-[(-24+24)]+(-6+24) =-18-0+18 =0,
det(C) =101 & 1-3 & -3 -32 & 1-6 & -3 +52 & 1-6 & -3 =10( -3+3 )-3(-6+6)+5(-6+6) =0-0+0 =0

Passo 5

Como det(B)=0 e det(C)=0, temos
det(A) = (-2)cdot0 -(-3)cdot0 = 0
Logo A não é invertível e ker fneq0. Portanto f não é injetora.

Resposta

f não é injetora.

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