Considere uma base beta^prime=(1,0,2),(0,-1,3),(1,1,1) de R^3. Qual é a base beta tal que a matriz de mudança de base de beta para beta^prime seja Pbeta beta^prime=[ccc1 & 2 & -1 -4 & 0 & 1 3 & 1 & 2] ?

Passo 1

O enunciado dá a base
beta' = ,b'1=(1,0,2),;b'2=(0,-1,3),;b'3=(1,1,1)
e a matriz de mudança de base de beta para beta'
Pbetatobeta'= 1 & 2 & -1 -4& 0 & 1 3 & 1 & 2
Queremos encontrar a base beta=v1,v2,v3 em coordenadas canônicas de R^3.

Passo 2

Lembrando que as colunas de Pbetatobeta' são as coordenadas dos vetores de beta relativamente à base beta'. Se denotarmos
Pbetatobeta'=l[c1;;c2;;c3r],
com ci=(c1i,c2i,c3i)^T, então
vi = c1i,b'1 + c2i,b'2 + c3i,b'3

Passo 3

Para v1, a primeira coluna é c1=(1,-4,3)^T. Então
v1 = 1,b'1 + (-4),b'2 + 3,b'3 = 1cdot(1,0,2) + (-4)cdot(0,-1,3) + 3cdot(1,1,1)
= (1,0,2) + (0,4,-12) + (3,3,3) = (4,7,-7)

Passo 4

Para v2, a segunda coluna é c2=(2,0,1)^T. Assim
v2 = 2,b'1 + 0,b'2 + 1,b'3 = 2cdot(1,0,2) + 0cdot(0,-1,3) + 1cdot(1,1,1)
= (2,0,4) + (0,0,0) + (1,1,1) = (3,1,5)

Passo 5

Para v3, a terceira coluna é c3=(-1,1,2)^T. Logo
v3 = (-1),b'1 + 1,b'2 + 2,b'3 = (-1)cdot(1,0,2) + 1cdot(0,-1,3) + 2cdot(1,1,1)
= (-1,0,-2) + (0,-1,3) + (2,2,2) = (1,1,3)

Resposta

A base beta cuja matriz de mudança para beta' é Pbetatobeta' é
beta = , (4,7,-7),;(3,1,5),;(1,1,3)

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