l 7 x+y-3 z=10 x+y+z=6 4 x+y+P z=Q
a) Impossível, se P neq-1 e Q neq 8.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com parâmetros
O que precisamos é descobrir para quais valores de o sistema não tem solução (é impossível). Vamos usar eliminação (diferenças entre equações) para reduzir a três equações em e e achar a condição de inconsistência.

Passo 2

Subtraímos a segunda equação da primeira e da terceira para eliminar y.
Da primeira menos a segunda:
(7x + y - 3z) - (x + y + z) = 10 - 6
6x -4z = 4
que simplifica para
3x - 2z = 2
Da terceira menos a segunda:
(4x + y + Pz) - (x + y + z) = Q - 6
3x + (P-1)z = Q - 6

Passo 3

Agora temos o sistema em x e z:
3x - 2z = 2, 3x + (P-1)z = Q - 6
Para ver quando dá inconsistência, subtraímos a primeira dessas duas da segunda:
l(3x + (P-1)zr) - l(3x - 2zr) = (Q-6) - 2 ;Longrightarrow; (P+1)z = Q - 8

Passo 4

A condição de inconsistente ocorre se o coeficiente de z for zero, mas o lado direito não for zero.
Coeficiente zero em (P+1)z P+1=0Rightarrow P=-1.
Para ser impossível, também precisamos que Q-8 neq 0, ou seja, Qneq 8.
Se P=-1 e Qneq 8, então de (P+1)z=Q-8 fica 0cdot z = Q-8neq0, um absurdo.

Resposta

O sistema é impossível se, e somente se,
P = -1 e Q neq 8

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