1. T: R^2 R^2, com T(x, y)=(x+2 y, 3 x-y);

Passo 1

O enunciado define a transformação
;Tcolon R^2 to R^2;
por
T(x,y) = (,x + 2y,;3x - y,)
O conteúdo é transformações lineares em R^2. Vamos (a) mostrar que T é linear, (b) encontrar sua matriz na base canônica, (c) verificar invertibilidade e (d) calcular T^-1.

Passo 2

Para verificar linearidade, tomemos vetores (x1,y1) e (x2,y2) e escalar lambda.
Tl((x1,y1)+(x2,y2)r) = T(x1+x2,;y1+y2) = l(x1+x2 + 2(y1+y2),;3(x1+x2)-(y1+y2)r)
=l((x1+2y1)+(x2+2y2),;(3x1-y1)+(3x2-y2)r) = T(x1,y1)+T(x2,y2)
Tl(lambda(x,y)r) = T(lambda x,lambda y) = (lambda x+2lambda y,;3lambda x-lambda y) =lambda,(x+2y,;3x-y) =lambda,T(x,y)
Logo, T é linear. Na base canônica e1=(1,0),e2=(0,1), temos
T(e1) = T(1,0) = (1,3), T(e2)=T(0,1) = (2,-1)
Portanto a matriz de T é
M = 1 & 2 3 & -1

Passo 3

Calculamos o determinante de M:
det(M) = 1cdot(-1) - 2cdot 3 = -1 - 6 = -7
Como det(M) neq 0, T é invertível (é um isomorfismo).

Passo 4

A inversa de M é
M^-1 = 1det(M) -1 & -2 -3 & 1 = 1-7 -1 & -2 -3 & 1 = tfrac17 & tfrac27 tfrac37 & -tfrac17
Assim, para (u,v)inR^2,
T^-1(u,v) = l(tfrac17u+tfrac27v,;tfrac37u-tfrac17vr)

Resposta

Matriz de T na base canônica:
1 & 2 3 & -1 ,
det = -7neq0 (invertível),
e
T^-1(u,v) = l(tfrac17u+tfrac27v,;tfrac37u-tfrac17vr)

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