Considere as bases abaixo:
  • A=(1,1),(-1,1) base de R^2;
  • B=(1,2,1),(0,1,1),(1,-1,0) base de R^3;
  • C=(1,-1,2),(1,-1,0),(0,1,1) base de R^3 ;
  • D=(ll1 & 1 1 & 1),(ll1 & 1 1 & 0),(ll1 & 1 0 & 0),(ll1 & 0 0 & 0) base de M2 times 2.
    Ache as matrizes das transformações lineares pedidas abaixo:
    (c) Sendo T: R^2 R^3 dada por T(x, y)=(-2 x+6 y, 3 x+y, x+2 y), ache [T]A, B;

Passo 1

O enunciado pede a matriz de TcolonR^2toR^3 nas bases
A=a1=(1,1),,a2=(-1,1), B=b1=(1,2,1),,b2=(0,1,1),,b3=(1,-1,0)
Para achar [T]A,B, calculamos T(aj) e escrevemos cada imagem como combinação linear de b1,b2,b3. As coordenadas dessas combinações formam as colunas de [T]A,B.

Passo 2

Calculamos as imagens pela fórmula
T(x,y)=(-2x+6y,;3x+y,;x+2y)
Para a1=(1,1):
T(1,1)=(-2cdot1+6cdot1,;3cdot1+1,;1+2cdot1)=(4,4,3)
Para a2=(-1,1):
T(-1,1)=(-2cdot(-1)+6cdot1,;3cdot(-1)+1,;-1+2cdot1)=(8,-2,1)

Passo 3

Queremos . Escrevemos o sistema
onde .

Passo 4

Para T(a1)=(4,4,3) o sistema é
c1+c3=4, 2c1+c2-c3=4, c1+c2=3
Resolvendo obtemos
c1=tfrac52, c2=tfrac12, c3=tfrac32

Passo 5

Para T(a2)=(8,-2,1) o sistema é
c1+c3=8, 2c1+c2-c3=-2, c1+c2=1
Resolvendo achamos
c1=tfrac52, c2=-tfrac32, c3=tfrac112

Resposta

[T]A,B = 52 & 52 12 & -32 32 & 112

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