Considere as três bases do R^3 abaixo.
& A=(-1,0,2),(0,1,0),(0,0,2) & B=(0,0,1),(0,-2,1),(1,0,-1) & C=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) a base canônica ô
(b) Ache a matriz de mudança de base de C para B;

Passo 1

O enunciado dá três bases de R^3, sendo C a base canônica e
B = ,b1=(0,0,1),;b2=(0,-2,1),;b3=(1,0,-1)
Pede-se a matriz de mudança de base de C para B, ou seja, a matriz P tal que, para um vetor v com coordenadas [v]C na base canônica, suas coordenadas na base B sejam
[v]B ;=; P,[v]C
Para isso, usaremos o fato de que, se montamos a matriz
M = l[b1;b2;b3r]
com colunas dadas pelos vetores de B em coordenadas canônicas, então
[v]C ;=; M,[v]B Longrightarrow [v]B = M^-1,[v]C,
logo P = M^-1.

Passo 2

Montamos a matriz M cujas colunas são b1,b2,b3 nas coordenadas da base canônica:
M = 0 & 0 & 1 0 & -2 & 0 1 & 1 & -1

Passo 3

Calculamos o determinante de M:
det(M) = 0cdotdet-2&01&-1 -0cdotl[dotsr] +1cdotdet0&-21&1 = 1cdot(0cdot1 -(-2)cdot1) =2

Passo 4

Vamos achar a matriz dos cofatores de M. Chamando Cij o cofator de M em (i,j), obtemos
l(Cijr) = 2 & 0 & 2 1 & -1 & 0 2 & 0 & 0
A matriz adjunta é o transposto dos cofatores:
adj(M) = 2 & 1 & 2 0 & -1 & 0 2 & 0 & 0

Passo 5

Como M^-1 = tfrac1det(M),adj(M), temos
M^-1 = 12 2 & 1 & 2 0 & -1 & 0 2 & 0 & 0 = 1 & tfrac12 & 1 0 & -tfrac12 & 0 1 & 0 & 0
Esse é exatamente o P que leva coordenadas canônicas em coordenadas na base B.

Resposta

P,Cto B = 1 & tfrac12 & 1 0 & -tfrac12 & 0 1 & 0 & 0

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