Determine o núcleo e a imagem das transformações a seguir. Quando possível, use o Teorema do Núcleo e da Imagem para facilitar suas contas. Quais destas transformações são injetoras? E sobrejetoras? E inversíveis?
(f)
(f)
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
Queremos encontrar
e
. Além disso, usar o Teorema da Dimensão (Núcleo e Imagem) para verificar se
é injetora, sobrejetora e, consequentemente, inversível.
Passo 2
Para achar
Da segunda equação . Substituindo em
dá
logo
. A primeira equação fica
, satisfeita. Portanto
Passo 3
Para a imagem, basta ver as imagens dos vetores-canônico
e
:
Esses dois polinômios não são múltiplos um do outro, logo são linearmente independentes em
. Assim
e
. Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem,
, consistente com
.
Passo 4
Como
, a transformação é injetora.
Como , ela não é sobrejetora.
Portanto não é invertível, pois falta sobrejetividade.
Como
Portanto não é invertível, pois falta sobrejetividade.