Determine o núcleo e a imagem das transformações a seguir. Quando possível, use o Teorema do Núcleo e da Imagem para facilitar suas contas. Quais destas transformações são injetoras? E sobrejetoras? E inversíveis?
(f) T: R^2 & P2 (a, b) & mapsto(-2 a+6 b) x^2+(3 a+b) x+(a+2 b)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^2 to P2, (a,b)mapsto(-2a+6b)x^2+(3a+b)x+(a+2b)
Queremos encontrar ker(T) e Im(T). Além disso, usar o Teorema da Dimensão (Núcleo e Imagem) para verificar se T é injetora, sobrejetora e, consequentemente, inversível.

Passo 2

Para achar
Da segunda equação . Substituindo em
logo . A primeira equação fica , satisfeita. Portanto

Passo 3

Para a imagem, basta ver as imagens dos vetores-canônico e :
Esses dois polinômios não são múltiplos um do outro, logo são linearmente independentes em . Assim
e . Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, , consistente com .

Passo 4

Como ker(T)=0, a transformação é injetora.
Como dim(Im(T))=2<dim(P2)=3, ela não é sobrejetora.
Portanto não é invertível, pois falta sobrejetividade.

Resposta



é injetora, não é sobrejetora e, consequentemente, não é inversível.

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