Considere as bases alpha e beta de R^3, alpha=(-3,0,-3),(-3,2,-1),(1,-6,-1) e beta=(-6,-6,0),(-2,-6,4),(-2,-3,7).
Determine [v]alpha onde v=(-5,8,-5).

Passo 1

O enunciado fornece a base alpha=u1,u2,u3 de R^3, com
u1 = (-3,0,-3), u2 = (-3,2,-1), u3 = (1,-6,-1),
e o vetor
v = (-5,8,-5)
Queremos encontrar as coordenadas [v]alpha=(a,b,c) tais que
v = a,u1 + b,u2 + c,u3
O conteúdo é mudança de base em R^3, que se reduz a resolver um sistema linear.

Passo 2

Escrevendo
a,(-3,0,-3) + b,(-3,2,-1) + c,(1,-6,-1) = (-5,8,-5)
e igualando componente a componente obtemos o sistema
-3a -3b + c = -5
2b - 6c = 8
-3a - b - c = -5

Passo 3

Da segunda equação
2b - 6c = 8
segue-se
b - 3c = 4 Longrightarrow b = 4 + 3c

Passo 4

Substituindo b=4+3c nas primeiras e terceiras equações, simplifica-se para
3a + 8c = -7
3a + 4c = 1

Passo 5

Subtraindo a segunda dessas da primeira, vem
(3a+8c) - (3a+4c) = -7 - 1 Longrightarrow 4c = -8 Longrightarrow c = -2
Então
b = 4 + 3(-2) = -2,
e de 3a +4c = 1 segue
3a +4(-2) = 1 Longrightarrow 3a -8 = 1 Longrightarrow a = 3

Resposta

[v]alpha = (3,,-2,,-2)

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