Considere as bases alpha=u1, u2, u3, u4 e beta=v1, v2, v3, v4 de um espaço vetorial V relacionados da seguinte forma:
v1=u2+u3 ; v2=u1 v3=2 u1-2 u3-u4 ; v4=-u4
Se [v]beta=[l1 2 1 0], encontre [v]alpha.

Passo 1

O enunciado nos dá duas bases de um espaço vetorial V,
alpha=u1,u2,u3,u4 e beta=v1,v2,v3,v4,
relacionadas por
v1&=u2+u3,& v2&=u1, v3&=2u1-2u3-u4,& v4&=-u4
Estamos dados [v]beta=1210 e precisamos encontrar [v]alpha. O conteúdo aqui é mudança de base, ou seja, expressar o mesmo vetor em coordenadas de alpha em vez de beta.

Passo 2

Primeiro, escrevemos v em termos das coordenadas na base beta:
v = 1cdot v1 + 2cdot v2 + 1cdot v3 + 0cdot v4

Passo 3

Substituímos cada vi pela sua expressão em função dos uj:
v &= (u2+u3) + 2,(u1) + (2u1-2u3-u4) + 0cdot(-u4) &= u2+u3 + 2u1 + 2u1-2u3-u4

Passo 4

Agora agrupamos os termos segundo u1,u2,u3,u4:
v = l(2+2r)u1 + (1)u2 + l(1-2r)u3 + (-1)u4,
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v = 4,u1 + 1,u2 -1,u3 -1,u4

Resposta

[v]alpha = 4 1 -1 -1

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