Ortogonalize a base alpha=(1,1,0,0),(-1,1,1,1),(0,1,2,1) do subespaço W subset R^4.

Passo 1

O enunciado pede para ortogonalizar a base
alpha=(1,1,0,0),,(-1,1,1,1),,(0,1,2,1)
do subespaço WsubsetR^4.
O conteúdo aqui é o processo de Gram–Schmidt, que constrói vetores u1,u2,u3 ortogonais entre si a partir dos vetores iniciais v1,v2,v3.

Passo 2

Definimos o primeiro vetor ortogonal como
u1 = v1 = (1,1,0,0)

Passo 3

Para obter u2, subtraímos de v2 a projeção em u1. Calculamos
lang<= v2,u1rang<= = (-1)cdot1 + 1cdot1 + 1cdot0 + 1cdot0 = 0,
|u1|^2 = 1^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2 = 2
Logo
proju1(v2) = lang<= v2,u1rang<=|u1|^2,u1 = 0cdotu1 = (0,0,0,0),
e portanto
u2 = v2 - (0,0,0,0) = (-1,1,1,1)

Passo 4

Para u3, subtraímos de v3 as projeções em u1 e em u2. Primeiro
lang<= v3,u1rang<= = 0cdot1 + 1cdot1 + 2cdot0 + 1cdot0 = 1, |u1|^2 = 2,
proju1(v3) = 12,u1 = l(tfrac12,tfrac12,0,0r)
Em seguida
lang<= v3,u2rang<= = 0cdot(-1) + 1cdot1 + 2cdot1 + 1cdot1 = 4, |u2|^2 = (-1)^2+1^2+1^2+1^2 = 4,
proju2(v3) = 44,u2 = (-1,1,1,1)
Logo
u3 = v3 - proju1(v3) - proju2(v3) = (0,1,2,1) - l(tfrac12,tfrac12,0,0r) - (-1,1,1,1)
Fazendo as contas:
(0,1,2,1)+ (1,-1,-1,-1)=(1,0,1,0),
(1,0,1,0)-l(tfrac12,tfrac12,0,0r) =l(tfrac12,-tfrac12,1,0r)
Para evitar frações, podemos multiplicar por 2 e definir
w3 = 2,u3 = (1,-1,2,0), que continua ortogonal a u1 e u2.

Resposta

Uma base ortogonal de W é
,u1,;u2,;w3 = , (1,1,0,0),;(-1,1,1,1),;(1,-1,2,0)

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