Considere T: R^3 R^2 uma transformação linear e alpha=u1=(1,0,1), u2=(0,1,0), u3=(1,1,-1) e beta=v1=(1,2), v2=(2,1) bases, respectivamente, de R^3 e R^2.
Determine T(x, y, z) de forma que Im(T)=spanv2.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear T:R^3toR^2 cujos espaços de entrada e saída estão dados pelas bases
alpha=u1=(1,0,1),,u2=(0,1,0),,u3=(1,1,-1) e
beta=v1=(1,2),,v2=(2,1), respectivamente, de modo que Im(T)=spanv2. Vamos definir T primeiro em alpha e depois achar a fórmula em coordenadas canônicas.

Passo 2

Para garantir Im(T)=spanv2, basta escolher as imagens dos vetores de alpha como múltiplos de v2, com pelo menos um não-nulo. Por exemplo, definimos
T(u1)=0, T(u2)=v2, T(u3)=0
Assim o espaço gerado pelas imagens é exatamente a reta Rv2.

Passo 3

Seja (x,y,z)inR^3. Escrevemos
(x,y,z)=a1u1+a2u2+a3u3
isto é,
a1(1,0,1)+a2(0,1,0)+a3(1,1,-1)=(x,y,z)
Isso gera o sistema
a1+a3 = x, a2+a3 = y, a1-a3 = z

Passo 4

Resolvendo o sistema, temos
a1=x+z2, a3=x-z2,
e então
a2=y-a3 =;y-x-z2 =-x+2y+z2

Passo 5

Como T(x,y,z)=T(a1u1+a2u2+a3u3)=a1,T(u1)+a2,T(u2)+a3,T(u3)=a2,v2, segue
T(x,y,z) =-x+2y+z2,(2,1) =l(-x+2y+z,;tfrac-x+2y+z2r)

Resposta

T(x,y,z)=l(-x+2y+z,;tfrac-x+2y+z2r)

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