Considere as bases alpha=u1, u2, u3, u4 e beta=v1, v2, v3, v4 de um espaço vetorial V relacionados da seguinte forma:
v1=u2+u3 ; v2=u1 v3=2 u1-2 u3-u4 ; v4=-u4
Determine Palpha beta, matriz de mudança da base beta para a base alpha.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de V,
alpha=u1,u2,u3,u4, beta=v1,v2,v3,v4,
e as expressões de cada vj em função dos ui. Queremos a matriz de mudança de base
Palphabeta,
que satisfaz
[x]alpha = Palphabeta,[x]beta
Para construí-la, basta colocar na j-ésima coluna de Palphabeta as coordenadas de vj na base alpha.

Passo 2

Analisamos cada vetor de beta em termos de alpha:
v1&=u2+u3 &&Longrightarrow [v1]alpha=0110, v2&=u1 &&Longrightarrow [v2]alpha=1000, v3&=2u1-2u3-u4 &&Longrightarrow [v3]alpha=20-2-1, v4&=-,u4 &&Longrightarrow [v4]alpha=000-1

Passo 3

Montamos Palphabeta cujas colunas são os vetores [v1]alpha,dots,[v4]alpha:
Palphabeta = 0 & 1 & 2 & 0 1 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & -2 & 0 0 & 0 & -1 & -1

Resposta

Palphabeta = 0 & 1 & 2 & 0 1 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & -2 & 0 0 & 0 & -1 & -1

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