Decida se o operador , dado por sua matriz é diagonalizável. Em caso positivo, calcule uma base de autovetores e sua forma diagonal. .
Passo 1
O enunciado nos dá um operador linear Tcolon R^3toR^3 cuja matriz na base B é
[T]B = 6 & -3 & -2 4 & -1 & -2 10 & -5 & -3
Precisamos decidir se T é diagonalizável sobre R. Para isso, vamos calcular o polinômio característico, seus autovalores e ver se há três autovetores reais linearmente independentes.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico chi(lambda)=det([T]B-lambda I):
Portanto, sobre R há apenas um autovalor real, lambda=2, de multiplicidade algébrica 1. Os outros dois autovalores são complexos não reais.
Passo 4
Para diagonalizar sobre R precisamos de três autovalores reais (ou de um total de três autovetores reais independentes). Aqui só há um autovetor real associado a lambda=2. Logo não conseguimos formar uma base de R^3 só com autovetores reais.