Decida se o operador T: R^n longrightarrow R^n, dado por sua matriz [T]B é diagonalizável. Em caso positivo, calcule uma base de autovetores e sua forma diagonal.
n=3.
[T]B=[ccc 6 & -3 & -2 4 & -1 & -2 10 & -5 & -3 ]

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear Tcolon R^3toR^3 cuja matriz na base B é
[T]B = 6 & -3 & -2 4 & -1 & -2 10 & -5 & -3
Precisamos decidir se T é diagonalizável sobre R. Para isso, vamos calcular o polinômio característico, seus autovalores e ver se há três autovetores reais linearmente independentes.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico chi(lambda)=det([T]B-lambda I):
chi(lambda) =det 6-lambda & -3 & -2 4 & -1-lambda & -2 10 & -5 & -3-lambda
Fazendo a expansão por cofactores e simplificando, obtém-se
chi(lambda) =lambda^3-2lambda^2+lambda-2 =(lambda-2)(lambda^2+1)

Passo 3

As raízes de chi(lambda) são
lambda=2, lambda^2+1=0implies lambda=pm i
Portanto, sobre R há apenas um autovalor real, lambda=2, de multiplicidade algébrica 1. Os outros dois autovalores são complexos não reais.

Passo 4

Para diagonalizar sobre R precisamos de três autovalores reais (ou de um total de três autovetores reais independentes). Aqui só há um autovetor real associado a lambda=2. Logo não conseguimos formar uma base de R^3 só com autovetores reais.

Resposta

O operador T não é diagonalizável sobre R.

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