Nos itens abaixo, mostre que o triângulo de vértices (P, Q) e ® é isoceles:
P(3,4,0) ; Q(1,5,1) ; R(3,4,3)

Passo 1

O enunciado dá os pontos P(3,4,0), Q(1,5,1) e R(3,4,3) no espaço e pede para mostrar que o triângulo PQR é isósceles. Para isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos em R^3:
d(A,B)=raiz(xB-xA)^2+(yB-yA)^2+(zB-zA)^2

Passo 2

Calculamos primeiro o vetor PQ e seu comprimento:
PQ = Q - P = (1-3,;5-4,;1-0)=(-2,,1,,1),
|PQ|^2 = (-2)^2 + 1^2 + 1^2 = 4 + 1 + 1 = 6,
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|PQ| = raiz6

Passo 3

Agora o vetor PR e seu comprimento:
PR = R - P = (3-3,;4-4,;3-0)=(0,,0,,3),
|PR|^2 = 0^2 + 0^2 + 3^2 = 9,
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|PR| = 3

Passo 4

Em seguida o vetor QR e seu comprimento:
QR = R - Q = (3-1,;4-5,;3-1)=(2,,-1,,2),
|QR|^2 = 2^2 + (-1)^2 + 2^2 = 4 + 1 + 4 = 9,
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|QR| = 3

Passo 5

Como
|PR| = 3 e |QR| = 3,
os segmentos PR e QR têm o mesmo comprimento. Portanto o triângulo PQR é isósceles, com lados iguais PR e QR.

Resposta

O triângulo PQR é isósceles, pois PR = QR = 3.

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