Verifique que as seguintes transformações são lineares: A: M_{2}(\mathbb{R}) \longrightarrow M_{2}(\mathbb{R}) dada por A\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}a+d & 0 \\\\ 3 b & a+b+c\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear candidata A: M_{2}(\mathbb{R})\to M_{2}(\mathbb{R}) definida por
A tarefa é verificar se essa transformação é realmente linear, ou seja, confirmar que ela satisfaz as duas propriedades da linearidade: aditividade e homogeneidade por escalar.
Informações dadas:
O domínio e contradomínio são M_{2}(\mathbb{R}), o espaço de todas as matrizes 2\times2 com entradas reais.
A regra A é fornecida entrada a entrada, em função das entradas a,b,c,d da matriz de entrada.
O que é pedido:
Mostrar explicitamente que, para quaisquer matrizes X,Y\in M_{2}(\mathbb{R}) e qualquer escalar \lambda\in\mathbb{R},A(X+Y)=A(X)+A(Y) \qquad\text{e}\qquad A(\lambda X)=\lambda A(X).]
Passo 2
Lembrete (definição e como operar com matrizes, passo a passo):
Para matrizes X=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\[4pt]x_{21}&x_{22}\end{pmatrix} e Y=\begin{pmatrix}y_{11}&y_{12}\\[4pt]y_{21}&y_{22}\end{pmatrix}, a soma é feita entrada a entrada:X+Y=\begin{pmatrix}x_{11}+y_{11} & x_{12}+y_{12}\\[4pt] x_{21}+y_{21} & x_{22}+y_{22}\end{pmatrix}.
Para um escalar \lambda, a multiplicação é também entrada a entrada:\lambda X=\begin{pmatrix}\lambda x_{11} & \lambda x_{12}\\[4pt]\lambda x_{21} & \lambda x_{22}\end{pmatrix}.
A definição de linearidade exige checar as duas propriedades (adit. e homog.) acima. Vou aplicar essas operações à regra A dada.]
Passo 3
Verificação da aditividade A(X+Y)=A(X)+A(Y).
Sejam
X=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}, \qquad Y=\begin{pmatrix}a' & b'\\[4pt] c' & d'\end{pmatrix}.
Mostrou-se que A(X+Y)=A(X)+A(Y) para quaisquer X,Y\in M_{2}(\mathbb{R}).
Mostrou-se que A(\lambda X)=\lambda A(X) para qualquer \lambda\in\mathbb{R} e qualquer X\in M_{2}(\mathbb{R}).
Essas duas propriedades são exatamente a definição de transformação linear. Portanto A é linear.
Passo 7
Comentário didático final e reforço (pequena intuição para prova):
A razão pela qual as contas ficaram tão simples é que A atua entrada a entrada por combinações lineares das entradas originais: a primeira entrada imagem é a+d (linear em a,d), a segunda é 0 (constante zero, ainda linear), a terceira é 3b (linear em b) e a quarta é a+b+c (linear em a,b,c). Toda combinação do tipo soma de escalares vezes entradas originais preserva aditividade e homogeneidade, então a transformação é linear. Se quiser, dá para escrever A como multiplicação por uma matriz 4\times4 no isomorfismo entre M_2(\mathbb{R}) e \mathbb{R}^4, mas a verificação feita acima é direta e suficiente.