Verifique que as seguintes transformações são lineares:
A: M_{2}(\mathbb{R}) \longrightarrow M_{2}(\mathbb{R}) dada por A\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}a+d & 0 \\\\ 3 b & a+b+c\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear candidata A: M_{2}(\mathbb{R})\to M_{2}(\mathbb{R}) definida por
A\!\left(\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}a+d & 0\\[4pt] 3b & a+b+c\end{pmatrix}.
A tarefa é verificar se essa transformação é realmente linear, ou seja, confirmar que ela satisfaz as duas propriedades da linearidade: aditividade e homogeneidade por escalar.
Informações dadas:
  • O domínio e contradomínio são M_{2}(\mathbb{R}), o espaço de todas as matrizes 2\times2 com entradas reais.
  • A regra A é fornecida entrada a entrada, em função das entradas a,b,c,d da matriz de entrada.
O que é pedido:
  • Mostrar explicitamente que, para quaisquer matrizes X,Y\in M_{2}(\mathbb{R}) e qualquer escalar \lambda\in\mathbb{R}, A(X+Y)=A(X)+A(Y) \qquad\text{e}\qquad A(\lambda X)=\lambda A(X).]

Passo 2

Lembrete (definição e como operar com matrizes, passo a passo):
  • Para matrizes X=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\[4pt]x_{21}&x_{22}\end{pmatrix} e Y=\begin{pmatrix}y_{11}&y_{12}\\[4pt]y_{21}&y_{22}\end{pmatrix}, a soma é feita entrada a entrada: X+Y=\begin{pmatrix}x_{11}+y_{11} & x_{12}+y_{12}\\[4pt] x_{21}+y_{21} & x_{22}+y_{22}\end{pmatrix}.
  • Para um escalar \lambda, a multiplicação é também entrada a entrada: \lambda X=\begin{pmatrix}\lambda x_{11} & \lambda x_{12}\\[4pt]\lambda x_{21} & \lambda x_{22}\end{pmatrix}.
  • A definição de linearidade exige checar as duas propriedades (adit. e homog.) acima. Vou aplicar essas operações à regra A dada.]

Passo 3

Verificação da aditividade A(X+Y)=A(X)+A(Y).
Sejam
X=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}, \qquad Y=\begin{pmatrix}a' & b'\\[4pt] c' & d'\end{pmatrix}.
Então a soma é
X+Y=\begin{pmatrix}a+a' & b+b'\\[4pt] c+c' & d+d'\end{pmatrix}.
Aplicando A à soma, usando a regra dada (sempre calculando cada entrada segundo a definição de A):
A(X+Y) = \begin{pmatrix} (a+a')+(d+d') & 0\\[4pt] 3(b+b') & (a+a')+(b+b')+(c+c') \end{pmatrix}.
Agora desenvolvendo as somas em cada entrada:
A(X+Y) = \begin{pmatrix} (a+d)+(a'+d') & 0\\[4pt] 3b+3b' & (a+b+c)+(a'+b'+c') \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular A(X)+A(Y) e comparar com o resultado do passo anterior.
Pelo enunciado,
A(X)=\begin{pmatrix}a+d & 0\\[4pt] 3b & a+b+c\end{pmatrix}, \qquad A(Y)=\begin{pmatrix}a'+d' & 0\\[4pt] 3b' & a'+b'+c'\end{pmatrix}.
Somando:
A(X)+A(Y) = \begin{pmatrix} (a+d)+(a'+d') & 0+0\\[4pt] 3b+3b' & (a+b+c)+(a'+b'+c') \end{pmatrix}.
Comparando com A(X+Y) obtido no passo anterior, observa-se que as entradas coincidem exatamente. Portanto
A(X+Y)=A(X)+A(Y).]

Passo 5

Verificação da homogeneidade A(\lambda X)=\lambda A(X).
Seja \lambda\in\mathbb{R} e X=\begin{pmatrix}a&b\\[4pt] c&d\end{pmatrix}. Então
\lambda X=\begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b\\[4pt]\lambda c & \lambda d\end{pmatrix}.
Aplicando A a \lambda X:
A(\lambda X) = \begin{pmatrix} \lambda a+\lambda d & 0\\[4pt] 3(\lambda b) & \lambda a+\lambda b+\lambda c \end{pmatrix}.
Factorizando \lambda em cada entrada (lembrando que fator constante sai de cada soma/entrada):
A(\lambda X) = \begin{pmatrix} \lambda(a+d) & 0\\[4pt] \lambda(3b) & \lambda(a+b+c) \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} a+d & 0\\[4pt] 3b & a+b+c \end{pmatrix}.
O último termo é exatamente \lambda A(X). Logo
A(\lambda X)=\lambda A(X).]

Passo 6

Conclusão lógica a partir dos passos anteriores:
  • Mostrou-se que A(X+Y)=A(X)+A(Y) para quaisquer X,Y\in M_{2}(\mathbb{R}).
  • Mostrou-se que A(\lambda X)=\lambda A(X) para qualquer \lambda\in\mathbb{R} e qualquer X\in M_{2}(\mathbb{R}).
Essas duas propriedades são exatamente a definição de transformação linear. Portanto A é linear.

Passo 7

Comentário didático final e reforço (pequena intuição para prova):
  • A razão pela qual as contas ficaram tão simples é que A atua entrada a entrada por combinações lineares das entradas originais: a primeira entrada imagem é a+d (linear em a,d), a segunda é 0 (constante zero, ainda linear), a terceira é 3b (linear em b) e a quarta é a+b+c (linear em a,b,c). Toda combinação do tipo soma de escalares vezes entradas originais preserva aditividade e homogeneidade, então a transformação é linear. Se quiser, dá para escrever A como multiplicação por uma matriz 4\times4 no isomorfismo entre M_2(\mathbb{R}) e \mathbb{R}^4, mas a verificação feita acima é direta e suficiente.

Resposta

Sim: A é linear.

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