Determine quais das seguintes funções são Aplicações Lineares
T: P_{2} \longrightarrow P_{2}, se p(t)=a t^{2}+b t+c definimos T(p(t))=a t+b+1

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação T: P_{2}\longrightarrow P_{2}. Para um polinômio geral p(t)=a t^{2}+b t+c (com a,b,c\in\mathbb{R}) a imagem é definida por
T(p(t)) = a t + b + 1.
A pergunta é: determinar se T é uma aplicação linear (ou seja, se T preserva soma de vetores e multiplicação por escalares). Não há outras informações além disso.

Passo 2

Vou lembrar a definição prática de aplicação linear e uma propriedade necessária muito útil.
Definição: T é linear se, para todo p,q\in P_{2} e todo escalar \lambda\in\mathbb{R}, valem
T(p+q)=T(p)+T(q) \quad\text{e}\quad T(\lambda p)=\lambda\,T(p).
Propriedade necessária: para qualquer aplicação linear T deve valer
T(0)=0,
onde 0 é o polinômio nulo (o polinômio constante zero). Isso decorre assim: T(0)=T(0\cdot p)=0\cdot T(p)=0 para qualquer p.
Essa propriedade é muito prática para testar rapidamente se uma aplicação é linear: se T(0)\neq0 então T não pode ser linear.

Passo 3

Calcular T do polinômio zero. O polinômio zero corresponde a a=0, b=0, c=0. Aplicando a definição:
T(0)=T(0\cdot t^{2}+0\cdot t+0)=0\cdot t + 0 + 1 = 1,
ou seja, T(0) é o polinômio constante 1, que é diferente do polinômio zero.

Passo 4

Usando a propriedade necessária do passo anterior, como T(0)=1\neq0, concluímos que T não satisfaz a condição que toda aplicação linear deve satisfazer. Portanto T não é linear.
Para reforçar (exemplo concreto de violação da homogeneidade): tome p(t)=t^{2}, que tem a=1,b=0,c=0. Então
T(p)=T(t^{2})=1\cdot t + 0 + 1 = t+1.
Multiplicando por \lambda=2:
T(2p)=T(2t^{2})=2\cdot t + 0 + 1 = 2t+1,
enquanto
2\,T(p)=2(t+1)=2t+2.
Como T(2p)\neq 2\,T(p), a propriedade T(\lambda p)=\lambda T(p) falha explicitamente aqui — mais uma confirmação de que T não é linear.

Resposta

T não é uma aplicação linear.

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