Determine quais das seguintes funções são Aplicações Lineares
, se
definimos
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação
. Para um polinômio geral
(com
) a imagem é definida por
A pergunta é: determinar se
é uma aplicação linear (ou seja, se
preserva soma de vetores e multiplicação por escalares). Não há outras informações além disso.
Passo 2
Vou lembrar a definição prática de aplicação linear e uma propriedade necessária muito útil.
Definição:
é linear se, para todo
e todo escalar
, valem
Propriedade necessária: para qualquer aplicação linear
deve valer
onde
é o polinômio nulo (o polinômio constante zero). Isso decorre assim:
para qualquer
.
Essa propriedade é muito prática para testar rapidamente se uma aplicação é linear: se
então
não pode ser linear.
Passo 3
Calcular
do polinômio zero. O polinômio zero corresponde a
,
,
. Aplicando a definição:
ou seja,
é o polinômio constante
, que é diferente do polinômio zero.
Passo 4
Usando a propriedade necessária do passo anterior, como
, concluímos que
não satisfaz a condição que toda aplicação linear deve satisfazer. Portanto
não é linear.
Para reforçar (exemplo concreto de violação da homogeneidade): tome
, que tem
. Então
Multiplicando por
:
enquanto
Como
, a propriedade
falha explicitamente aqui — mais uma confirmação de que
não é linear.