Mostre que, para um operador hermitiano A, o valor esperado
\langle\psi| A|\psi\rangle
é sempre real.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que, para um operador hermitiano A, o valor esperado
\langle\psi|A|\psi\rangle
é sempre um número real.
Informações dadas e convenções que vamos usar:
  • A é hermitiano, ou seja A^\dagger = A.
  • |\psi\rangle é um vetor do espaço de Hilbert (o enunciado não exige que |\psi\rangle seja normalizado; a demonstração vale em ambos os casos).
  • Usarei a propriedade conjugada do produto interno e a definição do adjunto (operador Hermitiano) na forma padrão da mecânica quântica.

Passo 2

Propriedade básica do produto interno (explicação didática): para quaisquer vetores |\varphi\rangle e |\chi\rangle vale a conjugação simétrica do produto interno:
\bigl\langle\varphi\bigm|\chi\bigr\rangle^{*} = \bigl\langle\chi\bigm|\varphi\bigr\rangle.
Isto significa, na prática, que o complexo conjugado do escalar \langle\varphi|\chi\rangle é o escalar \langle\chi|\varphi\rangle. Exemplo simples: se \langle\varphi|\chi\rangle = 2+3i então \langle\chi|\varphi\rangle = 2-3i.

Passo 3

Definição do adjunto (passo-teórico necessário): o adjunto A^\dagger de um operador A é o operador que satisfaz, para quaisquer |\varphi\rangle e |\chi\rangle,
\bigl\langle\varphi\bigm|A\bigm|\chi\bigr\rangle = \bigl\langle A^\dagger\varphi\bigm|\chi\bigr\rangle.
Quando A é hermitiano temos A^\dagger = A, ou seja, A é igual ao seu próprio adjunto.

Passo 4

Agora vamos manipular o conjugado do valor esperado. Defina
z \equiv \bigl\langle\psi\bigm|A\bigm|\psi\bigr\rangle.
Tomando o complexo conjugado de z e usando a propriedade do produto interno do Passo 2 (com |\varphi\rangle=|\psi\rangle e |\chi\rangle=A|\psi\rangle) obtemos
z^{*} = \bigl\langle A\psi\bigm|\psi\bigr\rangle.
Agora use a definição do adjunto (Passo 3). A identidade \langle\varphi|A\chi\rangle = \langle A^\dagger\varphi|\chi\rangle, aplicada a |\varphi\rangle=|\psi\rangle e |\chi\rangle=|\psi\rangle, dá
\bigl\langle\psi\bigm|A\bigm|\psi\bigr\rangle = \bigl\langle A^\dagger\psi\bigm|\psi\bigr\rangle.
Tomando o conjugado dessa igualdade e usando novamente a propriedade do produto interno resulta
\bigl\langle A\psi\bigm|\psi\bigr\rangle = \bigl\langle\psi\bigm|A^\dagger\bigm|\psi\bigr\rangle.
Juntando com a expressão para z^{*} temos
z^{*} = \bigl\langle\psi\bigm|A^\dagger\bigm|\psi\bigr\rangle.

Passo 5

Como A é hermitiano, A^\dagger = A. Portanto a igualdade do Passo 4 fica
z^{*} = \bigl\langle\psi\bigm|A\bigm|\psi\bigr\rangle = z.
Um número igual ao seu complexo conjugado é, por definição, real. Logo z é real.
Observação didática extra (não obrigatória na prova, mas útil): não é necessário que |\psi\rangle seja normalizado; a demonstração vale para qualquer vetor. Se a expectativa for definida como \langle A\rangle = \dfrac{\langle\psi|A|\psi\rangle}{\langle\psi|\psi\rangle} (forma normalizada), o numerador e o denominador são ambos reais quando A é hermitiano (o denominador \langle\psi|\psi\rangle é manifestamente real e positivo), portanto a razão também é real.

Passo 6

(Prova alternativa em componentes, para consolidar a ideia) Escolha uma base ortonormal e escreva A pela matriz A_{ij} e |\psi\rangle com componentes \psi_j. Então
\bigl\langle\psi\bigm|A\bigm|\psi\bigr\rangle = \sum_{i,j} \psi_i^{*}\,A_{ij}\,\psi_j.
Hermiticidade significa A_{ij}^{*} = A_{ji}. Tomando o conjugado:
\left(\sum_{i,j} \psi_i^{*}A_{ij}\psi_j\right)^{*} = \sum_{i,j} \psi_i A_{ij}^{*}\psi_j^{*} = \sum_{i,j} \psi_j^{*}A_{ji}\psi_i = \sum_{i,j} \psi_i^{*}A_{ij}\psi_j,
onde na última igualdade trocou-se índices i\leftrightarrow j. Assim o conjugado é igual ao original, o que mostra que a soma é real — mesma conclusão.

Resposta

O valor esperado \langle\psi|A|\psi\rangle é real.

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