Considere as bases B=(1,1,1),(1,0,1),(1,0,-1) e canônica C de R^3.
Determine as matrizes de mudança de base [I]C^B e [I]B^C.

Passo 1

O enunciado dá a base
B = ,v1=(1,1,1),;v2=(1,0,1),;v3=(1,0,-1)
e a base canônica C=e1,e2,e3 de R^3.
Precisamos encontrar
  1. [I]C^B: matriz que leva coordenadas em B para coordenadas canônicas, isto é, cujas colunas são v1,v2,v3 escritas em C.
  2. [I]B^C: inversa de [I]C^B, converte coordenadas canônicas em coordenadas na base B.

Passo 2

Escrevemos diretamente
[I]C^B =l[,[v1]C;;[v2]C;;[v3]C,r] = 1 & 1 & 1 1 & 0 & 0 1 & 1 & -1

Passo 3

Para achar [I]B^C=l([I]C^Br)^-1, calculamos o determinante e a matriz dos cofatores de
A=1&1&11&0&01&1&-1.
O determinante é det A=2 e a adjunta (transposta dos cofatores) vale
adj(A) = 0 & 2 & 0 1 & -2 & 1 1 & 0 & -1

Passo 4

Logo
[I]B^C =A^-1 =1det A,adj(A) =12 0 & 2 & 0 1 & -2 & 1 1 & 0 & -1

Resposta

[I]C^B = 1 & 1 & 1 1 & 0 & 0 1 & 1 & -1 , [I]B^C =12 0 & 2 & 0 1 & -2 & 1 1 & 0 & -1

Exercícios relacionados