Considere as bases B=(1,1,1),(1,0,1),(1,0,-1) e canônica C de R^3.
Seja v=(2,1,4). Determine [v]B.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as coordenadas de v=(2,1,4) na base B=(1,1,1),(1,0,1),(1,0,-1). Isso significa achar escalares a,b,c tais que
a(1,1,1) + b(1,0,1) + c(1,0,-1) = (2,1,4)
Vamos usar álgebra linear básica e resolver o sistema para (a,b,c).

Passo 2

Escrevendo a igualdade componente a componente, temos
a + b + c = 2, a = 1, a + b - c = 4
Aqui cada linha vem das componentes x, y e z respectivamente.

Passo 3

Da segunda equação já vemos que
a = 1
Substituindo a=1 nas outras duas equações, obtemos
1 + b + c = 2, 1 + b - c = 4
Simplificando,
b + c = 1, b - c = 3

Passo 4

Somando as duas últimas equações para eliminar c, dá
2b = 4 Longrightarrow b = 2
Em seguida, de b + c = 1 segue
c = 1 - b = 1 - 2 = -1

Passo 5

Concluímos que os escalares são
a = 1, b = 2, c = -1,
logo as coordenadas de v na base B são (1,2,-1).

Resposta

[v]B = (1,,2,,-1).

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