Considere os seguintes subconjuntos de P2(R) :
U=p(t) in P2(R): p(-1)=0 e V=p(t) in P2(R): integral0^1 p(t) d t=0
Responda e justifique: (i) A soma U+V é direta? U+V=P2(R) ?

Passo 1

O enunciado está em P2(R), o espaço dos polinômios de grau <=2, e define
U = p(t)colon p(-1)=0, V = lp(t)colon integral0^1p(t),dt=0
Queremos saber se U+V é soma direta e se U+V=P2(R). Para isso vamos usar conceitos de subespaços, dimensão e a fórmula
dim(U+V)=dim U+dim V-dim(Ucap V),
além da definição de soma direta ( Ucap V=0).

Passo 2

Dimensionamos U. Um polinômio genérico em P2 é
p(t)=alpha t^2+beta t+gamma
A condição p(-1)=0 implica
alpha(-1)^2+beta(-1)+gamma=alpha-beta+gamma=0,
isto é, um único vínculo linear entre alpha,beta,gamma. Logo
dim U=3-1=2
Alternativamente, todo pin U pode ser escrito como
p(t)=(t+1)(a,t+b),
com a,binR, o que mostra também dim U=2.

Passo 3

Dimensionamos V. A aplicação
Lcolon P2toR, L(p)=integral0^1p(t),dt
é funcional linear não nulo, logo ker L=V tem codimensão 1. Assim
dim V=3-1=2

Passo 4

Calculamos dim(Ucap V). Um pin Ucap V satisfaz as duas condições. Usando a forma fatorada p(t)=(t+1)(a,t+b), impondo
integral0^1(t+1)(a,t+b),dt=0
temos
integral0^1(a,t^2+(a+b)t+b),dt =a3+a+b2+b =5a+9b6=0 Longrightarrow 5a+9b=0
Isso é um único vínculo entre a,b, logo o conjunto de soluções é uma reta no plano (a,b), ou seja
dim(Ucap V)=1

Passo 5

Pela fórmula da dimensão da soma,
dim(U+V)=dim U+dim V-dim(Ucap V) =2+2-1=3
Mas dim P2(R)=3, então U+V é todo P2(R).

Passo 6

Para ser soma direta precisamos Ucap V=0, mas vimos que dim(Ucap V)=1, ou seja há polinômios não nulos em Ucap V. Portanto a soma não é direta.

Resposta

(i) A soma não é direta.
(ii) U+V=P2(R).

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