Considere os seguintes subconjuntos de
:
Responda e justifique: (i) A soma
é direta?
?
Passo 1
O enunciado está em
, o espaço dos polinômios de grau
, e define
Queremos saber se
é soma direta e se
. Para isso vamos usar conceitos de subespaços, dimensão e a fórmula
além da definição de soma direta (
).
Passo 2
Dimensionamos
. Um polinômio genérico em
é
A condição
implica
isto é, um único vínculo linear entre
. Logo
Alternativamente, todo
pode ser escrito como
com
, o que mostra também
.
Passo 3
Dimensionamos
. A aplicação
é funcional linear não nulo, logo
tem codimensão
. Assim
Passo 4
Calculamos
. Um
satisfaz as duas condições. Usando a forma fatorada
, impondo
temos
Isso é um único vínculo entre
, logo o conjunto de soluções é uma reta no plano
, ou seja
Passo 5
Pela fórmula da dimensão da soma,
Mas
, então
é todo
.
Passo 6
Para ser soma direta precisamos
, mas vimos que
, ou seja há polinômios não nulos em
. Portanto a soma não é direta.
Resposta
(i) A soma não é direta.
(ii) .
(ii)