Considere os seguintes subconjuntos de P2(R) :
U=p(t) in P2(R): p(-1)=0 e V=p(t) in P2(R): integral0^1 p(t) d t=0
Determine base e dimensão para os subespaço U, V, U cap V e U+V.

Passo 1

O enunciado trabalha com o espaço vetorial P2(R) (polinômios de grau <=2) de dimensão 3 e define dois subespaços
U=p(t)in P2(R):p(-1)=0, V=lp(t)in P2(R):integral0^1p(t),dt=0r
A meta é achar base e dimensão de U, de V, de Ucap V e de U+V.

Passo 2

Para achar U, escrevemos o genérico
p(t)=at^2+bt+c
e impomos
p(-1)=a(-1)^2+b(-1)+c=0;Longrightarrow;a-b+c=0;Longrightarrow;c=b-a
Logo
p(t)=a,t^2+b,t+(b-a)=a,(t^2-1)+b,(t+1)
e
U=lang<=,t^2-1,;t+1rang<=, dim U=2

Passo 3

Para V, com p(t)=at^2+bt+c usamos
integral0^1p(t),dt =integral0^1(at^2+bt+c),dt =a3+b2+c=0 ;Longrightarrow; c=-l(a3+b2r) =-2a+3b6
Então
p(t)=al(t^2-tfrac13r)+bl(t-tfrac12r)
e
V=llang<=,t^2-tfrac13,;t-tfrac12rrang<=, dim V=2

Passo 4

Para Ucap V pegamos o polinômio em U,
p(t)=a(t^2-1)+b(t+1),
e impomos a condição de V:
integral0^1l[a(t^2-1)+b(t+1)r]dt =a3-a+b2+b =-2a3+3b2=0 ;Longrightarrow;-4a+9b=0;Longrightarrow;b=4a9
Então c=b-a=-5a/9 e
p(t)=al(t^2+tfrac49t-tfrac59r),
logo
Ucap V =llang<=,t^2+tfrac49t-tfrac59rrang<=, dim(Ucap V)=1

Passo 5

Pelo teorema da dimensão,
dim(U+V)=dim U+dim V-dim(Ucap V) =2+2-1=3
Como dim P2(R)=3, segue U+V=P2(R) e uma base natural é 1,t,t^2.

Resposta

U: base t^2-1,;t+1, dimensão 2.
V: base t^2-tfrac13,;t-tfrac12, dimensão 2.
Ucap V: base ,t^2+tfrac49t-tfrac59, dimensão 1.
U+V: é todo P2(R), base 1,t,t^2, dimensão 3.

Exercícios relacionados