(a) Verifique que o conjunto B=1,1-t,(1-t)^2 é uma base para P2(R).

Passo 1

O enunciado pede para verificar que o conjunto B=1,,1-t,,(1-t)^2 é uma base de P2(R). Como dim P2(R)=3, basta mostrar que esses três polinômios são linearmente independentes (ou, equivalentemente, que geram o espaço).

Passo 2

Suponha que haja escalares c1,c2,c3 tais que
c1cdot 1 ;+; c2cdot(1-t);+;c3cdot(1-t)^2 ;=;0
como polinômio em t. Expandindo (1-t)^2=1-2t+t^2, obtém-se
c1+c2+c3 ;+;(-,c2-2c3),t ;+;(c3),t^2 ;=;0
Igualando coeficientes a zero vem o sistema
c3=0, -,c2-2c3=0;Rightarrow;c2=0, c1+c2+c3=0;Rightarrow;c1=0
Logo, só a combinação trivial anula, e os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Como B é um conjunto de três vetores em um espaço de dimensão três e já vimos que é linearmente independente, ele gera todo P2(R). Portanto B é base de P2(R).

Resposta

O conjunto 1,,1-t,,(1-t)^2 é uma base de P2(R).

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