Dada as bases do e do , determinar a transformação linear cuja matriz é:
Passo 1
O enunciado nos dá duas bases beta = l((1,1),(1,0)r) em R^2 e beta' = l((1,2,0),(1,0,-1),(1,-1,3)r) em R^3,
e a matriz de TcolonR^2toR^3 relativa a essas bases:
[T]beta'^beta = 2 & 0 1 & -2 -1 & 3
Queremos achar a forma de T na base canônica de R^2 e R^3. Para isso vamos: 1. Expressar um vetor genérico (x,y) em coordenadas de beta. 2. Multiplicar pela matriz dada para obter as coordenadas de T(x,y) em beta'. 3. Recombinar essas coordenadas nos vetores de beta' e simplificar.
Passo 2
Seja v=(x,y)inR^2. Procuramos a,b tais que
v = a,(1,1) + b,(1,0) Longrightarrow (a+b,,a) = (x,y)
Dessa igualdade segue
a = y, b = x - y
Logo as coordenadas de v na base beta são
[v]beta = a b = y x - y
Passo 3
Aplicando a matriz, obtemos
[T(v)]beta' = 2 & 0 1 & -2 -1 & 3 y x - y = 2y 1 cdot y - 2(x-y) -1 cdot y + 3(x-y) = 2y 3y - 2x 3x - 4y
Passo 4
Agora recombinamos em beta'. Sejam
c1 = 2y, c2 = 3y-2x, c3 = 3x-4y
Então
T(x,y) = c1,(1,2,0) + c2,(1,0,-1) + c3,(1,-1,3)
Vamos somar componente a componente: 1. Primeiro componente: