Dada as bases beta=(1,1),(1,0) do R^2 e beta^prime=(1,2,0),(1,0,-1),(1,-1,3) do R^3, determinar a transformação linear T: R^2 longrightarrow R^3 cuja matriz é:
[T]beta^prime^beta=[cc 2 & 0 1 & -2 -1 & 3 ]

Passo 1

O enunciado nos dá duas bases
beta = l((1,1),(1,0)r) em R^2 e
beta' = l((1,2,0),(1,0,-1),(1,-1,3)r) em R^3,
e a matriz de TcolonR^2toR^3 relativa a essas bases:
[T]beta'^beta = 2 & 0 1 & -2 -1 & 3
Queremos achar a forma de T na base canônica de R^2 e R^3. Para isso vamos:
1. Expressar um vetor genérico (x,y) em coordenadas de beta.
2. Multiplicar pela matriz dada para obter as coordenadas de T(x,y) em beta'.
3. Recombinar essas coordenadas nos vetores de beta' e simplificar.

Passo 2

Seja v=(x,y)inR^2. Procuramos a,b tais que
v = a,(1,1) + b,(1,0) Longrightarrow (a+b,,a) = (x,y)
Dessa igualdade segue
a = y, b = x - y
Logo as coordenadas de v na base beta são
[v]beta = a b = y x - y

Passo 3

Aplicando a matriz, obtemos
[T(v)]beta' = 2 & 0 1 & -2 -1 & 3 y x - y = 2y 1 cdot y - 2(x-y) -1 cdot y + 3(x-y) = 2y 3y - 2x 3x - 4y

Passo 4

Agora recombinamos em beta'. Sejam
c1 = 2y, c2 = 3y-2x, c3 = 3x-4y
Então
T(x,y) = c1,(1,2,0) + c2,(1,0,-1) + c3,(1,-1,3)
Vamos somar componente a componente:
1. Primeiro componente:
2y + (3y-2x) + (3x-4y) = x + y
2. Segundo componente:
4y + 0 + (-3x+4y) = -3x + 8y
3. Terceiro componente:
0 + (-3y+2x) + (9x-12y) = 11x - 15y

Passo 5

Portanto, na base canônica temos
T(x,y) = (,x + y,;-3x + 8y,;11x - 15y,)

Resposta

T(x,y) = l(x + y,;-3x + 8y,;11x - 15yr)

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