Verifique se o operador T: R^3 longrightarrow R^3 tal que:
T(x, y, z)=(3 x-y+z,-x+5 y-z, x-y+3 z)
é diagonalizável e, caso seje, determine uma matriz X que o diagonaliza e calcule X^-1 A X.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T:R^3toR^3 cuja matriz em alguma base canônica é
A= 3 & -1 & 1 -1 & 5 & -1 1 & -1 & 3
Pede-se verificar se T (ou seja, A) é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontrar uma matriz X que o diagonalize e calcular X^-1AX. Para isso vamos usar o fato de que A é diagonalizável se existir uma base de R^3 formada por autovetores de A, equivalendo a ter três autovetores linearmente independentes.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A pela condição
det(A-lambda I)=0
Temos
A-lambda I = 3-lambda & -1 & 1 -1 & 5-lambda & -1 1 & -1 & 3-lambda
e um cálculo de determinante (por expansão) leva a
det(A-lambda I) =lambda^3-11lambda^2+36lambda-36 =(lambda-2)(lambda-3)(lambda-6)
Logo os autovalores são lambda1=2, lambda2=3 e lambda3=6, todos distintos.

Passo 3

Para resolvemos , isto é
As equações implicam e , cuja solução geral é
de modo que um autovetor associado é

Passo 4

Para resolvemos , isto é
Isso leva a e , gerando o autovetor

Passo 5

Para resolvemos , isto é
Dessa forma obtém-se e , dando o autovetor
Como os três autovalores são distintos, os autovetores são linearmente independentes e é diagonalizável.

Passo 6

Colocamos os autovetores como colunas de uma matriz invertível X, na mesma ordem dos autovalores escolhidos:
X= 1 & 1 & 1 0 & 1 & -2 -1 & 1 & 1 ,
cuja inversa existe pois v1,v2,v3 é base. Então
X^-1AX = 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 6

Resposta

A matriz é diagonalizável. Uma escolha de X que a diagonaliza é
X= 1 & 1 & 1 0 & 1 & -2 -1 & 1 & 1 ,
e
X^-1AX = 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 6

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