Considere as bases B(1,2,-1),(0,1,2),(2,0,1) e A=(1,1,1),(-1,0,2),(0,1,2). Determine:
As coordenadas de u=(0,2,4)A na base B.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^3:
A=a1,a2,a3 com
a1=(1,1,1), a2=(-1,0,2), a3=(0,1,2),
e
B=b1,b2,b3 com
b1=(1,2,-1), b2=(0,1,2), b3=(2,0,1)
O vetor vec u tem coordenadas (0,2,4) na base A, ou seja
vec u = 0,a1 + 2,a2 + 4,a3
Queremos encontrar as coordenadas de vec u na base B.

Passo 2

Primeiro expressamos vec u nas coordenadas canônicas (padrão).
vec u = 0,(1,1,1) + 2,(-1,0,2) + 4,(0,1,2) = (-2,0,4) + (0,4,8) = (-2,,4,,12)

Passo 3

Em seguida, igualamos vec u a uma combinação linear das colunas de B:
x,b1 + y,b2 + z,b3 = ( -2,,4,,12 )
Escrevendo coordenada a coordenada,
x + 0cdot y + 2z = -2, 2x + y + 0cdot z = 4, -,x + 2y + z = 12

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  1. Da segunda equação y = 4 - 2x.
  2. Substituindo na terceira:
    -x + 2(4-2x) + z = 12;Rightarrow; -5x + z + 8 =12;Rightarrow; z = 4 +5x
  3. Substituindo z na primeira:
    x + 2(4+5x) = -2;Rightarrow;11x +8 = -2;Rightarrow;x = -tfrac1011
  4. Logo z = 4 +5l(-tfrac1011r) = -tfrac611, y = 4 -2l(-tfrac1011r)= tfrac6411

Resposta

As coordenadas de vec u na base B são
l(-tfrac1011,,tfrac6411,,-tfrac611r)B

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