Mostre que o conjunto (1,3,1),(1,0,4),(0,2,2) é uma base para V^3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
(1,3,1),(1,0,4),(0,2,2)
é uma base de R^3.
Para isso, vamos usar o critério de que três vetores em R^3 formam base se, e somente se, o determinante da matriz que eles formam (como linhas ou colunas) for diferente de zero.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas linhas são os vetores dados:
A = 1 & 3 & 1 1 & 0 & 4 0 & 2 & 2
Calculamos seu determinante por expansão na primeira linha:
det(A) =1cdotdet0 & 42 & 2 -3cdotdet1 & 40 & 2 +1cdotdet1 & 00 & 2
Agora cada menor 2times 2:
det0 & 42 & 2=0cdot2-4cdot2=-8, det1 & 40 & 2=1cdot2-4cdot0=2, det1 & 00 & 2=1cdot2-0cdot0=2
Substituindo:
det(A)=1cdot(-8)-3cdot2+1cdot2=-8-6+2=-12

Passo 3

Como det(A)=-12neq0, os vetores são linearmente independentes. Em R^3, qualquer conjunto de três vetores independentes também gera o espaço inteiro. Logo, eles formam uma base de R^3.

Resposta

O conjunto (1,3,1),(1,0,4),(0,2,2) é uma base de R^3, pois o determinante da matriz associada é -12neq0.

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