6- Considere as matrizes:
& A=(ccc 0 & 2 & 3 1 & 2 & 4 1 & 0 & 1 ) B=(ccc 1 & 1 & 1 0 & 2 & 1 1 & 1 & 4 ) C=(ccc 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 ) & D=(rrrr 6 & 3 & -1 & -1 -4 & -1 & 1 & 3 1 & -2 & 0 & 1 3 & 3 & -1 & -4 ) E=(rrrr 0 & 4 & 0 & 2 1 & -1 & 0 & 3 0 & 2 & 1 & 2 0 & 3 & 3 & 0 ) F=(rrrr 1 & 2 & 1 & 0 -1 & 4 & 3 & 2 0 & 3 & 2 & 1 2 & 1 & 0 & -1 )
(a) Usando operações elementares, calcule o determinante das matrizes acima.

Passo 1

O enunciado pede para calcular os determinantes de seis matrizes, três de ordem 3 e três de ordem 4, usando operações elementares em linhas e expansão por menores. Para isso, precisamos lembrar que:
  • trocar duas linhas inverte o sinal do determinante;
  • adicionar a uma linha um múltiplo de outra não altera o determinante;
  • ao expandir por uma coluna (ou linha), somamos os cofatores multiplicados pelos elementos dessa coluna.

Passo 2

Cálculo de det(A), com
A= 0 & 2 & 3 1 & 2 & 4 1 & 0 & 1
  1. Troque R1rightarrow R2, o que muda o sinal:
A';=; 1 & 2 & 4 0 & 2 & 3 1 & 0 & 1 , det(A)=-det(A')
  1. Faça R3 R3-R1:
1 & 2 & 4 0 & 2 & 3 0 & -2 & -3
  1. Expanda por R1:
det(A')=1cdotdet2&3-2&-3-2cdotdet0&30&-3+4cdotdet0&20&-2 =1cdot(2cdot(-3)-3cdot(-2))=0
Logo det(A)=-0=0.

Passo 3

Cálculo de det(B), com
B= 1 & 1 & 1 0 & 2 & 1 1 & 1 & 4
Expansão pela primeira linha:
det(B)&=1cdotdet2&11&4 -1cdotdet0&11&4 +1cdotdet0&21&1 &=1cdot(2cdot4-1cdot1) -1cdot(0cdot4-1cdot1) +1cdot(0cdot1-2cdot1) &=7-(-1)-2=6

Passo 4

Cálculo de det(C), com
C= 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1
Como C é triangular inferior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
det(C)=1cdot1cdot1=1

Passo 5

Cálculo de det(D), com
D= 6 & 3 & -1 & -1 -4 & -1 & 1 & 3 1 & -2 & 0 & 1 3 & 3 & -1 & -4
Expandindo por cofactores na primeira coluna:
det(D) =6,M11-(-4),M21+1,M31-3,M41,
onde cada Mi1 é o determinante do menor 3times3. Calculando cada menor dá M11=0, M21=6, M31=-6, M41=6. Logo
det(D)=6cdot0+4cdot6+1cdot(-6)-3cdot6=0+24-6-18=0

Passo 6

Cálculo de det(E), com
E= 0 & 4 & 0 & 2 1 & -1 & 0 & 3 0 & 2 & 1 & 2 0 & 3 & 3 & 0
Expandindo pela primeira coluna (só 1 na posição (2,1)):
det(E) =-1cdotdet 4 & 0 & 2 2 & 1 & 2 3 & 3 & 0
O determinante do 3times3 interno é
4,(1cdot0-2cdot3)-0+;2,(2cdot3-1cdot3) =4cdot(-6)+2cdot3=-24+6=-18,
logo det(E)= -1cdot(-18)=18.

Passo 7

Cálculo de det(F), com
F= 1 & 2 & 1 & 0 -1 & 4 & 3 & 2 0 & 3 & 2 & 1 2 & 1 & 0 & -1
  1. Faça R2 R2+R1 e R4 R4-2,R1, obtendo
1 & 2 & 1 & 0 0 & 6 & 4 & 2 0 & 3 & 2 & 1 0 & -3 & -2 & -1
  1. Expanda pela primeira coluna: só resta o cofactor do elemento 1 em (1,1), isto é, o determinante do menor
    6&4&23&2&1-3&-2&-1. Calculando dá zero, logo
det(F)=1cdot0=0

Resposta

det(A)=0
det(B)=6
det(C)=1
det(D)=0
det(E)=18
det(F)=0

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